Serie armonica

[esmozzo]

la serie armonica è una serie divergente, quindi va a infinito.
non dovrebbe tendere a un numero finito,quindi essere convergente, visto che alla fine quando n=10000( o anche prima) diventan talmente piccoli i valori che sommi da esser quasi ininfluenti?? cioè con una n parecchio grande la somma varia di 0.000000001 che non basta neanche a far aumentare il valore della sommatoria di un millesimo( o meno)

[theras]

Forse t'inganna la "lentezza" con la quale diverge la serie armonica,
la quale "corre" all'infinito di "pari passo" con la serie di termine generale $a_n=log (1+1/n)$
(telescopica e divergente..):
saluti dal web.
P.S.
Benvenuto in questo Forum:
m'accorgo solo ora che sei nuovo,di queste parti!

[esmozzo]

probabile che mi inganna ma ancora non mi torna la cosa...
se io ho per esempio 2.6 poi sommo 0.01 ho 2,61 poi sommo 0.005 e ho 2,615, sommo 0,001 e ho 2,616 e così via... non arriverò neanche mai a 3 e la serie armonica si comporta così o sbaglio??

ah grazie del benvenuto

[theras]

Pensa(non la scelgo a caso ed a breve lo scoprirai a lezione,se già non l'hai fatto..)
alla successione di termine generale $a_n=log(n+1)$;
per renderla maggiore d'un numero fissato a piacere $k$,qual'è ad esempio $10$(e l'ho assegnato piccolo..),
devo scegliere $n>e^10-1$,che non è male come ordine di grandezza
(cinque cifre decimali,ad occhio,
ovvero la differenza tra una buona utilitaria ed uno di quei suv dai quali ci si deve spesso guardare per la strada..);
eppure,sebbene ci stia un bel pò,riesce a superarlo:
e più fissiamo "grande" il nostro arbitrario $k$ più quest'ultimo vien superato "tardi",
ma alla fine il nostro Davide,per la serie chi và piano và sano e và lontano,
riesce a battere qualunque Golia per quanto grosso esso sia !
Saluti dal web.

[gugo82]

"amse":la serie armonica è una serie divergente, quindi va a infinito.
non dovrebbe tendere a un numero finito,quindi essere convergente, visto che alla fine quando n=10000( o anche prima) diventan talmente piccoli i valori che sommi da esser quasi ininfluenti?? cioè con una n parecchio grande la somma varia di 0.000000001 che non basta neanche a far aumentare il valore della sommatoria di un millesimo( o meno)

Ok, allora supponiamo pure che la serie armonica \(\sum 1/n\) converga verso un numero \(s\).
Tale numero sarà positivo, poiché è somma di numeri positivi.

Consideriamo la serie \(\sum \frac{1}{2n}\), fatta dai reciproci dei numeri pari: dato che la serie armonica è convergente, evidentemente si ha:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \frac{s}{2}\; .
\]
Ma allora anche la serie \(\sum \frac{1}{2n-1}\), fatta dai reciproci dei numeri naturali dispari, è convergente, in quanto si ottiene come differenza delle due serie convergenti \(\sum 1/n\) e \(\sum 1/(2n)\): in particolare si trova:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} = s- \frac{s}{2}= \frac{s}{2}
\]
Ed allora si ha anche:
\[
\begin{split}
0 &= \frac{s}{2} - \frac{s}{2} \\
&= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} \\
&= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \\
&= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n(2n-1)} \; ,
\end{split}
\]
il che è palesemente assurdo, perché una somma di numeri positivi non può essere nulla.

Quindi, anche se gli addendi della serie diminuiscono via via, la serie armonica non può convergere.

Inoltre, noto che, seguendo il tuo ragionamento, tutte le serie che soddisfano la condizione necessaria alla convergenza sarebbero convergenti.
Quindi la condizione sarebbe anche "sufficiente" alla convergenza, il che non è (come mostra l'esempio della serie armonica).