Serie $arctan$

[Danying]

salve; come potrei svolgere la seguente serie:


$ sum_(n) (n arctg x^2)/(2n^3+n+1)$ al variare del parametro reale $x$




vorrei usare il confronto... ma non so il metodo di approccio :

Dovrei studiare uno per uno i casi $x=0$ ?

$x>0$
e $x<0$ ?

non so da dove iniziare

[gugo82]

L'arcotangente è limitata, perciò...

[Danying]

"gugo82":L'arcotangente è limitata, perciò...

perciò la studio semplicemente tra $-pi/2, pi/2$ giusto?

Correggimi se sbaglio...

anche se non so come studiarla...

[gugo82]

Ho detto che è una funzione limitata, non che puoi restringerne a caso il dominio (che ti ricordo essere tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex]).

Cosa significa che una funzione è limitata?
Come puoi applicare questa cosa al tuo caso?

[Danying]

"gugo82":Ho detto che è una funzione limitata, non che puoi restringerne a caso il dominio (che ti ricordo essere tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex]).

Cosa significa che una funzione è limitata?
Come puoi applicare questa cosa al tuo caso?

mi sono espresso male:

con $- pi/2 pi/2$ intendevo il codominio ... non l'insieme su cui studiarla dato che l'arcotangente è definita su tutto R;

cmq in questo caso sappiamo che possiamo solo avere valori compresi in $- pi/2 pi/2$

ma in questo caso con la serie come ci comportiamo?

perdona è la prima volta che la incontro in questa forma...

thankx

[pater46]

"mat100":salve; come potrei svolgere la seguente serie:


$ sum_(n) (n arctg x^2)/(2n^3+n+1)$

visto che è limitata, allora potresti maggiorarla con:

$ sum_(n) (n \cdot "max("arctg x")"^2)/(2n^3+n+1) = sum_(n) (n \pi^2/4)/(2n^3+n+1) = \pi^2/4 sum_(n) n/(2n^3+n+1)$

Che è asintoticamente equivalente a.... etc etc

PS: tutti i diritti riservati a gugo per l'idea

[Danying]

"pater46":[quote="mat100"]salve; come potrei svolgere la seguente serie:


$ sum_(n) (n arctg x^2)/(2n^3+n+1)$

visto che è limitata, allora potresti maggiorarla con:

$ sum_(n) (n \cdot "max("arctg x")"^2)/(2n^3+n+1) = sum_(n) (n \pi^2/4)/(2n^3+n+1) = \pi^2/4 sum_(n) n/(2n^3+n+1)$

Che è asintoticamente equivalente a.... etc etc

PS: tutti i diritti riservati a gugo per l'idea [/quote]

maggiorarla con cosa ? con $(pi^2/4)$

pater potresti essere più chiaro

nel senso sei stato chiarissimo... però non ho appreso bene la logica...

[gugo82]

"mat100":$ sum_(n) (n arctg x^2)/(2n^3+n+1)$ al variare del parametro reale $x$

L'idea era questa: hai [tex]$|\arctan y| \leq \tfrac{\pi}{2}$[/tex], quindi ponendo [tex]$y=x^2$[/tex], anche [tex]$|\arctan x^2| \leq \tfrac{\pi}{2}$[/tex], nonché [tex]$2n^3<2n^3+n+1$[/tex]; da ciò segue che:

[tex]$\left| \frac{n\arctan x^2}{2n^3+n+1} \right| \leq \frac{n\tfrac{\pi}{2}}{2n^3} =\frac{\pi}{4n^2} <\frac{1}{n^2}$[/tex],

sicché la tua serie si maggiora termine a termine in valore assoluto con [tex]$\sum \frac{1}{n^2}$[/tex], la quale è convergente (per essere armonica generalizzata d'esponente [tex]$2>1$[/tex]); ne consegue che la tua serie è assolutamente convergente per ogni [tex]$x$[/tex].

[pater46]

Mmm... se un fattore della tua espressione è limitato, allora puoi maggiorare la tua intera espressione con un'altra identica avente però al posto del fattore limitato, il suo limite superiore.

Cioè... faccio un esempio. Tu hai $f(x) = a(x) * b(x) $, che studi in un dato insieme $\Omega$

Sai però che la tua $b(x)$ nell'intervallo in cui studi la funzione, non può assumere più di un certo valore $\gamma$, ovvero hai $b(x) <= \gamma \forall x \in \Omega$.

Allora concorderai con me che $ a(x) * b(x) <= a(x) * \gamma \forall x \in \Omega $.

Almeno questo è tutto vero se $ a(x) >= 0 $, ed è il tuo caso

[Danying]

"gugo82":[quote="mat100"]$ sum_(n) (n arctg x^2)/(2n^3+n+1)$ al variare del parametro reale $x$

L'idea era questa: hai [tex]$|\arctan y| \leq \tfrac{\pi}{2}$[/tex], quindi ponendo [tex]$y=x^2$[/tex], anche [tex]$|\arctan x^2| \leq \tfrac{\pi}{2}$[/tex], nonché [tex]$2n^3<2n^3+n+1$[/tex]; da ciò segue che:

[tex]$\left| \frac{n\arctan x^2}{2n^3+n+1} \right| \leq \frac{n\tfrac{\pi}{2}}{2n^3} =\frac{\pi}{4n^2} <\frac{1}{n^2}$[/tex],

sicché la tua serie si maggiora termine a termine in valore assoluto con [tex]$\sum \frac{1}{n^2}$[/tex], la quale è convergente (per essere armonica generalizzata d'esponente [tex]$2>1$[/tex]); ne consegue che la tua serie è assolutamente convergente per ogni [tex]$x$[/tex].[/quote]





Gugo;

lo so che non cè niente di standard soprattutto in analisi...

ma il criterio di assoluta convergenza "di solito" in quale condizione si usa di più ?

thankx