Serie analisi 2
Salve a tutti...l altro giorno ho affrontato l esame di Analisi 2 e il mio prof ha proposto questa serie:
+∞ n^2
∑ ------------
n=1 (e^nx+1)
ora io ho applicato l assoluta convergenza..ma nn credo di aver fatto bene..cm avreste fatto voi? i casi x=0, x>0 e x<0 ?
Dovevo trovare convergenza puntuale e uniforme..Grazie anticipatamente
+∞ n^2
∑ ------------
n=1 (e^nx+1)
ora io ho applicato l assoluta convergenza..ma nn credo di aver fatto bene..cm avreste fatto voi? i casi x=0, x>0 e x<0 ?
Dovevo trovare convergenza puntuale e uniforme..Grazie anticipatamente
Risposte
se puoi cerca di scrivere con le formule che è più comprensibile..
si scusa..non credevo che si compattasse tutto...allora la serie, che va da 1 a +oo, di n^2/(e^(nx) +1)
$\sum_{n=1}^(+oo) n^2/(e^(nx)+1)$
Mostraci come hai fatto (che, da quanto hai scritto, non si capisce).
C'è un metodo grossomodo standard per risolvere gli esercizi di questo tipo: l'hai seguito?
Oppure hai applicato uno dei criteri per la convergenza delle serie a termini positivi che si studiano in Analisi I?
P.S.: Ho corretto un errore di battitura nella tua formula; come vedi ora funziona perfettamente.
C'è un metodo grossomodo standard per risolvere gli esercizi di questo tipo: l'hai seguito?
Oppure hai applicato uno dei criteri per la convergenza delle serie a termini positivi che si studiano in Analisi I?
P.S.: Ho corretto un errore di battitura nella tua formula; come vedi ora funziona perfettamente.
si ..io ho applicato i criteri per la convergenza come in analisi I...ma nn credo sia giusto..cioè ho applicato l assoluta convergenza nella serie e poi applicando il criterio del rapporto ho studiato la convergenza puntuale...
Che significa "ho applicato la convergenza assoluta nella serie"?
Visto che per ogni $n \in NN$ ed $x\in RR$ si ha $n^2/("e"^(nx)+1) >= 0$, tra convergenza puntuale ed assoluta non c'è differenza (insomma, la serie è a termini positivi).
Allora applichiamo il criterio del rapporto: fissato $x \in RR$, prendendo il rapporto tra due termini consecutivi troviamo:
$((n+1)^2/("e"^((n+1)x)+1))/(n^2/("e"^(nx) +1))$
quindi dobbiamo calcolare il limite:
$lim_(n\to oo) ((n+1)^2/("e"^((n+1)x)+1))/(n^2/("e"^(nx) +1))=lim_(n\to oo) (n+1)^2/n^2*("e"^(nx) +1)/("e"^((n+1)x) +1) \quad$.
tenendo presente che $x$, per ora, deve essere riguardata come una costante... Ora continua tu coi calcoli.
Poi vediamo cosa si può fare per la convergenza totale ed uniforme.
Visto che per ogni $n \in NN$ ed $x\in RR$ si ha $n^2/("e"^(nx)+1) >= 0$, tra convergenza puntuale ed assoluta non c'è differenza (insomma, la serie è a termini positivi).
Allora applichiamo il criterio del rapporto: fissato $x \in RR$, prendendo il rapporto tra due termini consecutivi troviamo:
$((n+1)^2/("e"^((n+1)x)+1))/(n^2/("e"^(nx) +1))$
quindi dobbiamo calcolare il limite:
$lim_(n\to oo) ((n+1)^2/("e"^((n+1)x)+1))/(n^2/("e"^(nx) +1))=lim_(n\to oo) (n+1)^2/n^2*("e"^(nx) +1)/("e"^((n+1)x) +1) \quad$.
tenendo presente che $x$, per ora, deve essere riguardata come una costante... Ora continua tu coi calcoli.
Poi vediamo cosa si può fare per la convergenza totale ed uniforme.
questo limite fa' 1...va' tutto asintoticamente visto che l esponenziale non è solo ma somma 1...
Innanzitutto notiamo che per $x<= 0$ viene a mancare la condizione necessaria alla convergenza (difatti si ha $lim_(n\to oo) n^2/(e^(nx)+1)=+oo$), quindi la serie non può convergere se $x<= 0$ e rimane da verificare solo cosa succede per $x>0$.
Per $x>0$ hai:
$e^(nx)+1=e^(nx)(1+1/e^(nx))$ e $e^((n+1)x)+1=e^((n+1)x)(1+1/e^((n+1)x))=e^x*e^(nx)(1+1/e^((n+1)x))$
quindi:
$(e^(nx)+1)/(e^((n+1)x)+1)=1/e^x*(e^(nx))/(e^(nx))*(1+1/e^(nx))/(1+1/e^((n+1)x))=1/e^x*(1+1/e^(nx))/(1+1/e^((n+1)x))$
e perciò il limite vale $1/e^x<1$ (visto che $x>0$).
Pertanto per gli $x \in ]0,+oo[$ puoi affermare certamente che c'è convergenza assoluta.
Ora dovresti chiarire se c'è convergenza uniforme e/o totale in $]0,+oo[$.
Come faresti?
Per $x>0$ hai:
$e^(nx)+1=e^(nx)(1+1/e^(nx))$ e $e^((n+1)x)+1=e^((n+1)x)(1+1/e^((n+1)x))=e^x*e^(nx)(1+1/e^((n+1)x))$
quindi:
$(e^(nx)+1)/(e^((n+1)x)+1)=1/e^x*(e^(nx))/(e^(nx))*(1+1/e^(nx))/(1+1/e^((n+1)x))=1/e^x*(1+1/e^(nx))/(1+1/e^((n+1)x))$
e perciò il limite vale $1/e^x<1$ (visto che $x>0$).
Pertanto per gli $x \in ]0,+oo[$ puoi affermare certamente che c'è convergenza assoluta.
Ora dovresti chiarire se c'è convergenza uniforme e/o totale in $]0,+oo[$.
Come faresti?
trovo il sup della serie in $]0,+oo[$ ...mi calcolo la serie per quel valore che sarà $x=0$...calcolo la conv totale..e poi vedo se è necessario estendere l intervallo trovato nella conv totale per l uniforme...grazie per il chiarimento 
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