Serie - Analisi 2

[stefano.pirillo]

Ragazzi ho questa serie:
$ sum_(n=1)^(∞) n/5^(n+1)* (x+1)^n $

Ce l'ho già svolta sul quaderno ma non capisco come applicando il teorema del rapporto la x "sparisce".... sapete dirmi che fine fa? perchè ho visto lo stesso procedimento anche in altri esercizi dello stesso tipo già svolti su internet. Grazie

[theras]

Ma in che senso "sparisce"???
Quella successione,semplicemente,converge ad $(x+1)/5$ $AA x in RR$:
per i valori di $x$ che rendono non negativo il termine generale della tua serie è un'informazione bastevole per conclusioni importanti,proprio sfruttando il(corollario al)Teorema da te citato,
ma per gli altri serve qualche sforzo in più ..
Saluti dal web.

[Zero87]

"TheMasterita":Ragazzi ho questa serie:
$ sum_(n=1)^(∞) n/5^(n+1)* (x+1)^n $

Innanzitutto ci si riconduce ad una serie di potenze "canonica", cioè centrata in zero.

Nel tuo caso basta porre $y=x+1$ e si ottiene
$\sum_(n=1)^\infty \frac{n}{(n+1)} y^n$
obviously, alla fine della faccenda, si troverà un certo raggio di convergenza per la $y$ che dovrà essere "trasformato" in raggio di convergenza per la $x$ (abbiamo cambiato variabile, ricordiamolo!).

Da qui in poi, puoi applicare uno dei teoremi/criteri che ti piace

"TheMasterita":non capisco come applicando il teorema del rapporto la x "sparisce"...

perché la $x$ - nel nostro caso $y$ perché ho cambiato variabile (puoi anche richiamarla di nuovo $x$, fa lo stesso, ma dopo devi tornare alla variabile iniziale) - non compare proprio.

I vari criteri vanno applicati sui coefficienti, per es. quello del rapporto
$\lim_(n->+\infty) |\frac{a_(n+1)}{a_n}|$
e si trova il raggio di convergenza.

Un riassunto interessate l'ho trovato su wikiversità (ci sono tutti i criteri)
http://it.wikiversity.org/wiki/Serie_di ... 27Alembert

Un'ultima puntualizzazione: se non si vuole cambiare variabile e si vuole applicare subito uno dei vari criteri, si troverà un raggio di convergenza per $x+"quello che è"$ (nel nostro caso $(x+1)$).
Se, per es., il raggio di convergenza è 2, questo vuol dire che vale
$-2
Credo che fosse questa la questione.

[size=85]Saluto theras [/size]

[stefano.pirillo]

Zero87 ti ringrazio infinitamente, sei stato veramente esaustivo...tra l'altro non sapevo neanche che questo si chiamasse Criterio di D'Alembert perchè il professore non lo ha neanche citato.(ringrazio anche theras per la risposta)
Solo un piccolo dubbio. Il raggio di convergenza è 5 per cui -5

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[theras]

Chiariamo l'inghippo,Rita:
allo stato attuale della tua conoscenza,tralasciando per un attimo le ottime anticipazioni d Zero87
(per gli amici James,che attualmente starà festeggiando la grande vittoria del cavallo di Queen Elisabeth ),
tu disponi "solo" della teoria sulle serie numeriche e delle definizione relative ai concetti di convergenza puntuale,uniforme e totale per le serie di funzioni,vero?
Se è così il raggio di convergenza non sai cos'è,
ed a più forte ragione non potrai calcolarlo col criterio di D'alembert;
ciò nonostante potrai avvicinarti "inconsapevolmente" a tale concetto proseguendo,per la convergenza puntuale,con un metodo noto dalle serie numeriche che,guarda un pò,
somiglia tanto al criterio citato da James:
il(corollario)al criterio del rapporto,che potrai invocare,nelle varie casistiche da esso considerate,
ogni volta che,fissato $y$ in intervalli opportuni,studierai il carattere della serie numerica che ne salterà fuori..
Ciò detto,e proseguendo in quest'ottica tanto momentanea quanto importante da interiorizzare
(spesso le difficoltà su questo argomento,quando si fà più impegnativo,hanno origine nell'aver trascurato troppo repentinamente questa visuale d'esso..),
tu attenzioni giustamente cosa avviene quando la $y$ assume valori che non portano a poter dare conclusioni con quel criterio per le serie numeriche
(perché per tutti gli altri valori di tale variabile arriviamo sempre a poter stabilire con certezza il carattere della serie numerica corrispondente, usando il criterio testé citato insieme ai concetti d'assoluta convergenza d'una serie numerica ed ai criteri sulle serie a termini di segno alterno..):
e mi pare che pervieni a conclusioni giuste..
Ora resta il problema della convergenza totale:
lo risolvi osservando che,fissato a piacere $bar(y) in I=(-1,1)$,si ha
$|f_n(y)| le n/5*|bar(y)|^n$ $AA n in NN,AA y in [-bar(y),bar(y)]$(1),
e stabilendo il carattere della serie numerica al secondo membro della (1) nelle ipotesi fatte su $bar(y)$..
Saluti dal web.

[stefano.pirillo]

Grazie per la risposta, spero tu mi possa scusare se ti dico che non ho capito molto. Allora quello che io so è che il raggio di convergenza mi indica l'intorno di x per cui la serie converge, quindi nel mio caso so che la serie converge per x appartenente all'intervallo ]-4,6[. Fatto ciò sai dirmi a cosa serve calcolare la serie ai due estremi -4,6 (in cui sappiamo già che la serie non converge)? E quali sono, in generale,i risultati che potrei ricavare dopo aver calcolato una generica serie (simile a quella da me riportata) nei due estremi?
Ti ringrazio ancora per il tempo dedicatomi.

[theras]

O.k. Rita,allora chiariamo una cosa per non farmi correre il rischio di confonderti le idee:
avevi già studiato il concetto di raggio di convergenza,ed il teorema di D'Alambert per trovarlo,prima dell'intervento di Zero87?
Se si ti chiedo allora se hai già visto enunciato e dimostrazione del teorema di Abel sulle serie di potenze,
e poi rispondo ai tuoi ultimi due post di questo thread:
se no t'invito a "scordare" quanto detto da James,rileggere il mio post di prima e poi,
una volta afferatone il senso,d'improvviso "ricordare" le parole di Zero87..
A presto:
saluti dal web.

[stefano.pirillo]

sinceramente no non ne ero a conoscenza prima dell'intervento di zero87, ma in aula l'abbiamo svolto usando il raggio di convergenza come ha spiegato zero87 per cui vorrei imparare a risolverla con quel metodo.

[theras]

O.k. Rita:
diciamo che siam d'accordo sul fatto che la serie di potenze data converge,grazie alle parole di James sul criterio di D'Alembert,se e solo se $x in I=(-4,6)$?
Se non lo siamo,ma pure se lo siamo ,t'invito a notare che,se $x$ varia nel sottointervallo $(-4,1)$ di $I$,la convergenza della corrispondente serie numerica c'è ed è assoluta,
mentre se $x$ varia in $[1,6)$ non si pone il problema di dover passare dal valore assoluto del termine generale perché la corrispondente serie numerica è a termini non negativi;
in ambo i casi,comunque,il criterio del rapporto per le serie numeriche basta ai nostri fini,
mentre agli estremi non ne son neanche soddisfatte le ipotesi(li si ha $l=1$..)e dunque siamo costretti allo sforzo supplementare di un'indagine locale che hai ben svolto:
sarà sempre così per le serie di potenze,alla frontiera del loro intervallo di convergenza
(se limitato..),
poiché in tali punti il criterio del rapporto per le serie numeriche,che insieme al concetto di convergenza assoluta stà alla base dellla dimostrazione di quello di D'Alambert per le serie di potenze,condurrà sempre al caso dubbio $l=1$
(come d'altronde è facile avvedersi che,nell'eventuale complementare non vuoto di $I$ rispetto ad $RR$,tralasciandone per un attimo i punti di frontiera,
sempre per quel criterio sulle serie numeriche non vi sarà convergenza puntuale..)!
Ciò detto mi pare chiaro come sia necessario,per la convergenza totale,quella puntuale:
la ricerca degli intervalli di convergenza totale và allora limitata a sottoinsiemi di $(-4,6)$..
Sia allora $[a,b]$ uno qualunque di essi(me lo scelgo "nobile",come posso fare a patto che $4 detto $M$ il massimo tra $|a|$ e $|b|$,ne convieni che $|f_n(x)| le n/5 ((|M-1|)/5)^n$ $AA n in NN,AA x in [a,b]$?
Ti basta per affermare la convergenza totale?
Se la risposta sarà si,sappi che a breve generalizzerai questo schema di ragionamento,
e lo chiamerai teorema di Abel per le serie di potenze :
saluti dal web.

[Zero87]

"theras":allo stato attuale della tua conoscenza,tralasciando per un attimo le ottime anticipazioni d Zero87
(per gli amici James,che attualmente starà festeggiando la grande vittoria del cavallo di Queen Elisabeth ),
tu disponi "solo" della teoria sulle serie numeriche e delle definizione relative ai concetti di convergenza puntuale,uniforme e totale per le serie di funzioni,vero?
Se è così il raggio di convergenza non sai cos'è,
ed a più forte ragione non potrai calcolarlo col criterio di D'alembert;

Non ci avevo pensato: parlando di teorema del confronto pensavo al criterio di D'Alembert, non avevo pensato al confronto in generale tra serie.
Sono io a chiedere venia e a dire... magari rileggi questo post tra un paio di lezioni.

[size=90]Sono mancato 2 giorni, ma theras ha chiarito il tutto con un'esaustività incredibile e lo stile poetico che lo contraddistingue. [/size]

@theras
[ot]Cavallo della regina?!?[/ot]

[theras]

@James.
[ot]Oh gannawey(omaggio a Sordi,che ho visto mentre preparavo la norma per la tiffeina più stressata della storia delle abilitazioni del Belpaese ):
let's talk about horseback riding and the Queen like true english gentleman!
Haven't you seen the happyness of her majestic,after the first time that an horse of Real house has won the most important Kingdom's competition?
Well,pay attenction:
she could destroy your secret agent's license ..[/ot]
Saluti dal web.