Serie alternata

[ludwigZero]

Ho un esercizio dagli appunti, che non riesco a capire i passaggi che vengono fatti.
$\sum (-1)^(n+1) (2^n)/n (x^2 -1)^n $

posto $y = -2* (x^2 -1)$

$= - \sum (y^n)/n = - \sum \int y^(n-1) dy = \int 1/(1-y) dy = log(1-y)$

mi si spiega il perchè:
1) $(-1)^(n+1)$ diventa semplicemente $-1$
2) nell'integrale $n$ al denominatore scompare
3) perchè nell'integrale all'improvviso si integra per $y^(n+1)$

evidentemente ho perso qualche passaggio io, ma non credo sinceramente, quindi vi è qualche passaggio logico che io non comprendo. qualche suggerimento?

[j18eos]

Sperando di non sembrare polemico...

Ma ti sei domandato quanto vale \(y^n\)? Conosci il teorema di integrazione termine a termine di una serie di funzioni? Sai calcolare \(\int y^{n-1}dy\)?

[ciampax]

Mmmm... c'è qualcosa che non mi torna. Dunque

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\ \frac{2^n}{n}\ (x^2-1)^n=-\sum_{n=1}^\infty 1/n\cdot[-2(x^2-1)]^n=$ (raccogliendo tutto quello che ha esponente $n$)
(ponendo $y=-2(x^2-1)$)
$=-\sum_{n=1}^\infty \frac{y^n}{n}=$ (usando il fatto che $\int y^m\ dy=\frac{y^{m+1}}{m+1}$ e ponendo $n=m+1$)
$=-\sum_{n=1}^\infty \int y^{n-1}\ dy=-\int \sum_{n=1}^\infty y^{n-1}\ dy=-\int\sum_{n=0}^\infty y^n\ dy$ (riscalando gli indici)
$=-\int \frac{1}{1-y}\ dy$ (usando il fatto che si ha una serie geometrica)
$=\log|1-y|=\log|1+2x^2-2|=\log|2x^2-1|$

Ah sì, ora mi torna. Ovviamente ho saltato la discussione sul come e perché sia possibile scambiare la somma con l'integrale, a quella dovresti arrivarci.