Serie alternata
la serie è:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n(n+sen(n))/(n^2log(n)+n)$
se devo applicare leibniz devo verificare che è infinitesima e decrescente... un suggerimento?
grazie
$\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n(n+sen(n))/(n^2log(n)+n)$
se devo applicare leibniz devo verificare che è infinitesima e decrescente... un suggerimento?
grazie
Risposte
Anche qui ci vedo bene dividere tutto per $n$, cercando di dimostrare la convergenza assoluta 
allora
$\sum_(n=1)^(+\infty)|(-1)^n(n+sen(n))/(n^2log(n)+n)|=\sum_(n=1)^(+\infty)(n+sen(n))/(n^2log(n)+n)=\sum_(n=1)^(+\infty)(n(1+(sen(n))/n))/(n(nlog(n)+1)$
il numeratore dato che $(sen(n))/n->0$ tende a $1$... per il denominatore invece? grazie
$\sum_(n=1)^(+\infty)|(-1)^n(n+sen(n))/(n^2log(n)+n)|=\sum_(n=1)^(+\infty)(n+sen(n))/(n^2log(n)+n)=\sum_(n=1)^(+\infty)(n(1+(sen(n))/n))/(n(nlog(n)+1)$
il numeratore dato che $(sen(n))/n->0$ tende a $1$... per il denominatore invece?
grazie
$(sen(n))/n$ è $->oo$, quindi è $0$; al denominatore devi fare lo stesso, altrimenti i conti non tornano. Però alla fine non è assolutamente convergente
Quindi non va bene, devi quindi applicare Leibniz.
Per la decrescenza potresti ragionare sul fatto che $sen(n)$ è una funzione limitata, io per $n$ grande la trascurerei insomma.
Quindi non va bene, devi quindi applicare Leibniz.
Per la decrescenza potresti ragionare sul fatto che $sen(n)$ è una funzione limitata, io per $n$ grande la trascurerei insomma.
scusa non sto capendo proprio tutto... 
allora al denominatore avevo messo in evidenza solo $n$ (che poi si semplifica)... ora devo mettere in evidenza $n^2$???
$\sum_(n=1)^(+\infty)1/(n^2((log(n))/n+1/(n^2)))\approx\sum_(n=1)^(+\infty)1/(n^2(1/(n^2)))\approx1$ è possibile???
per quanto riguarda Leibniz devo verificare che è decrescente e infinitesima... che metodo uso per verificare la decrescenza? grazie ancora
allora al denominatore avevo messo in evidenza solo $n$ (che poi si semplifica)... ora devo mettere in evidenza $n^2$???
$\sum_(n=1)^(+\infty)1/(n^2((log(n))/n+1/(n^2)))\approx\sum_(n=1)^(+\infty)1/(n^2(1/(n^2)))\approx1$ è possibile???
per quanto riguarda Leibniz devo verificare che è decrescente e infinitesima... che metodo uso per verificare la decrescenza? grazie ancora
Cercare di determinare la convergenza assoluta non ci ha aiutato
Solo Leibniz puoi applicare. Come ti dicevo, prova a trascurare il contributo di $sen(n)$
Solo Leibniz puoi applicare. Come ti dicevo, prova a trascurare il contributo di $sen(n)$
Consiglio: formalmente si può scrivere [tex]$\sum (-1)^n \frac{n+\sin n}{n^2\ln n +n} =\sum (-1)^n \frac{1}{n\ln n +1} +\sum (-1)^n \frac{\sin n}{n^2\ln n +n}$[/tex], col secondo addendo assolutamente convergente; ergo, per provare che la serie assegnata converge occorre e basta dimostrare che il primo addendo converge (il che non mi pare affatto proibitivo).
gugo scusa per il ritardo... cmq oggi sto un po' fuso con la testa... è il mio compleanno e domani devo fare l'esame di analisi I
ho capito la divisione della serie in due però non riesco a capire come dimostrare che il primo addendo converge... in generale non so come comportarmi con il logartimo quando il suo argomento non è infitesimo... un'aiutino? grazie di tutto
ho capito la divisione della serie in due però non riesco a capire come dimostrare che il primo addendo converge... in generale non so come comportarmi con il logartimo quando il suo argomento non è infitesimo... un'aiutino?
grazie di tutto
"TheBestNapoli":
gugo scusa per il ritardo... cmq oggi sto un po' fuso con la testa... è il mio compleanno e domani devo fare l'esame di analisi I
Auguri compaesano!
[size=59](Almeno il nick così fa supporre...)[/size]
"TheBestNapoli":
ho capito la divisione della serie in due però non riesco a capire come dimostrare che il primo addendo converge...
Leibniz.
Visto che la serie è a segno alterno, con termine generale infinitesimo non dotato d'ordine (infatti è d'ordine superiore al primo, ma inferiore ad ogni [tex]$\alpha >1$[/tex]), l'unica via è studiare la monotonia della successione degli addendi.
Ciò è facile: infatti si ha [tex]$n
"TheBestNapoli":
in generale non so come comportarmi con il logartimo quando il suo argomento non è infitesimo... un'aiutino?
Dipende da ciò che devi fare... Così in generale non posso dirti nulla di utile.
P.S.: "un aiutino", senza apostrofo (l'apostrofo va solo davanti a nomi femminili, perchè c'è elisione della vocale "a" nell'articolo indeterminativo).
allora innanzitutto grazie per gli auguri
per la serie, ho capito (grazie ai tuoi passaggi) che la successione $a_n$ è monotona decrescente e, insieme al fatto (tra l'altro ovvio) che è infinitesima, con il criterio di Leibniz posso dire che la serie converge
per il logaritmo intendo ad esempio se ho:
$\sum_(n=1)^(+\infty)2^n*log(1+1/(e^n))$
poichè in questo caso $log(1+f(x))$ per $n->+\infty$ $f(x)->0$ posso applicare l'asintoticità $log(1+f(x))\approxf(x)$ e quindi verrebbe:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(2/e)^n$ che dovrebbe essere una serie geometrica con ragione $|x|<1$ e quindi converge
ma se ho:
$\sum_(n=2)^(+\infty)1/(n*(logn)*(log(logn)))$ come procedo?
infine per il fatto dell'apostrofo... è una "definitiva" conferma che oggi sto proprio fuso......
per la serie, ho capito (grazie ai tuoi passaggi) che la successione $a_n$ è monotona decrescente e, insieme al fatto (tra l'altro ovvio) che è infinitesima, con il criterio di Leibniz posso dire che la serie converge
per il logaritmo intendo ad esempio se ho:
$\sum_(n=1)^(+\infty)2^n*log(1+1/(e^n))$
poichè in questo caso $log(1+f(x))$ per $n->+\infty$ $f(x)->0$ posso applicare l'asintoticità $log(1+f(x))\approxf(x)$ e quindi verrebbe:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(2/e)^n$ che dovrebbe essere una serie geometrica con ragione $|x|<1$ e quindi converge
ma se ho:
$\sum_(n=2)^(+\infty)1/(n*(logn)*(log(logn)))$ come procedo?
infine per il fatto dell'apostrofo... è una "definitiva" conferma che oggi sto proprio fuso......
Beh, ad esempio potresti pensare di applicare il criterio di condensazione di Cauchy, oppure il criterio integrale (infatti una primitiva di [tex]$\tfrac{1}{x\ \ln x\ \ln \ln x}$[/tex] si calcola velocemente).
a dire la verità durante il corso non si è mai accennato nè al criterio di Cauchy nè al criterio integrale... e non ne vedo traccia nemmeno sul libro!!! (mi sembra strano...)
cmq girando un po' su internet ho trovato qualcosa (e in realtà non dovrebbero essere molto difficili entrambi) e credo sia più facile con il criterio integrale, infatti:
$\sum_(n=2)^(+\infty)1/(n*(logn)*(log(logn)))$ dovrebbe comportarsi come $\int_(2)^(+\infty)1/(x*(logx)*(log(logx)))dx$
una primitiva di questa funzione è $log(log(logx)))$, quindi:
$\int_(2)^(+\infty)1/(x*(logx)*(log(logx)))=lim_(\epsilon->+\infty)[log(log(logx)))]_(2)^(\epsilon)=lim_(\epsilon->+\infty)log(log(log\epsilon))-log(log(log2))=+\infty$
da cui segue che la serie iniziale diverge... è corretto?
cmq girando un po' su internet ho trovato qualcosa (e in realtà non dovrebbero essere molto difficili entrambi
) e credo sia più facile con il criterio integrale, infatti:$\sum_(n=2)^(+\infty)1/(n*(logn)*(log(logn)))$ dovrebbe comportarsi come $\int_(2)^(+\infty)1/(x*(logx)*(log(logx)))dx$
una primitiva di questa funzione è $log(log(logx)))$, quindi:
$\int_(2)^(+\infty)1/(x*(logx)*(log(logx)))=lim_(\epsilon->+\infty)[log(log(logx)))]_(2)^(\epsilon)=lim_(\epsilon->+\infty)log(log(log\epsilon))-log(log(log2))=+\infty$
da cui segue che la serie iniziale diverge... è corretto?
grazie di tutto gugo... mi hai illuminato su molte cose .... speriamo bene per domani 
... notte
.... speriamo bene per domani ... notte
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