Serie a^k/k!

[metafix]

Buondì, come da oggetto, riguardo la serie:
$ sum_(n= 0,oo ) a^n/(n!) $

esiste un'espressione per la $Sn$ ovvero la somma parziale che si ferma al termine n-mo?

Ovvero un modo semplice, compatto, per scrivere
$ Sn=sum_(k = 0,n ) a^k/(k!) $
?

Grazie!!!

[gugo82]

Non esiste.

[metafix]

Uhm. Perplessità. Io credo esista e abbia a che fare con la funzione gamma ma nn riesco a trovare dove lo avevo letto né come formularlo matematicamente.
Avanti un altro!

[Zero87]

"metafix":Ovvero un modo semplice, compatto, per scrivere
$ Sn=sum_(k = 0,n ) a^k/(k!) $

Semplice (circa) e compatto dal punto di vista visivo per scriverla ma in genere inutile per calcolarla è la formula della somma di Eulero che ho citato qui (anche se avevo molti dubbi all'epoca, ma la formula è quella[nota]Non riesco a trovarla su wiki![/nota])
https://www.matematicamente.it/forum/for ... 03848.html

Credo che dovresti considerare, come funzione
$(a^x)/(x!)$
per vedere se soddisfa le condizioni che si richiedono per applicarla (cioè se è $C^1$ e lo è, ricordando che come $x!$ prendo la $\Gamma$ che è derivabile tranne che in $0$ e $1$). Basta escludere, cioè fare a parte, i casi $n=0$ e $n=1$ e andare avanti con il resto.
Se ricordo ancora qualcosa di queste cose... dovrebbe funzionare!

EDIT
Non per vantarmi - è l'ultima cosa che mi passa per la testa - un esempio interessante di quanto ho detto sta qui
https://www.matematicamente.it/tesi-univ ... -di-laurea
nei paragrafi 10.2.2 e 10.2.3.
In 10.2.2 l'ho usata per calcolare il valore di una somma parziale fatta sui naturali, ma il punto non è tanto il risultato quanto il fatto che, comunque, è pur sempre una scrittura compatta e semplice (sulla semplicità si può discutere, lo so), ammesso che la funzione sia $C^1$ nell'intervallo.

[gugo82]

Beh, io mi guarderei bene dal definire "semplice" un'espressione contenente una funzione speciale (qual è la \(\Gamma\))... Ma immagino sia questione di gusti.

E, per quanto possa essere utile, mi pare la formula sia questa:
\[
S_n(a) = \frac{e^a}{n!}\ \Gamma(n+1,a)
\]
in cui \(\Gamma (\cdot ,\cdot)\) è la funzione gamma incompleta definita da:
\[
\Gamma (s,x) := \int_x^\infty t^{s-1}\ e^{-t}\ \text{d} t\; .
\]

[metafix]

Grazie a entrambi, era quello che cercavo.
PS "non esiste" significa "non esiste" e basta
"Esiste ma non è bella" è tutto un altro concetto.

[gugo82]

Guarda che la bellezza non l'ho mai tirata in ballo, perché non è una categoria con la quale (di solito) giudico la Matematica.
Quando qualcuno mi chiede una espressione "semplice" interpreto l'aggettivo come "elementare" ed, in tal senso, un'espressione "semplice" non esiste, dato che la formula che ti ho proposto non è affatto "semplice" (perché coinvolge una fastidiosa funzione speciale).