[serie] aiuto risoluzione serie!
qualcuno può gentilmente aiutarmi con questa serie:
$\sum_{n=1}^(+infty)$ $(3^n - e^n)^2 (1-cos 5^(-n))$
vi prego.. grazie mille
$\sum_{n=1}^(+infty)$ $(3^n - e^n)^2 (1-cos 5^(-n))$
vi prego.. grazie mille
Risposte
$k$???? 
"Lord K":
$k$????
scusami sarebbe n=1
Se è $n$ la base della sommatoria allora:
$sum_(n=1)^(+oo) (3-e)^2 * [sum_(i=0)^n 3^(n-i)*e^i]^2*(1-cos(5^(-n)))$
E si vede che diverge!
$sum_(n=1)^(+oo) (3-e)^2 * [sum_(i=0)^n 3^(n-i)*e^i]^2*(1-cos(5^(-n)))$
E si vede che diverge!
scusami ma come fai a dire che diverge? ..
.. io pensavo a un criterio dell' asintoticita e sinceramente non ho capito quello che tu hai fatto
.. io pensavo a un criterio dell' asintoticita e sinceramente non ho capito quello che tu hai fatto
Ho usato il fatto che:
$(x^n-y^n)=(x-y)*(x^(n-1)+x^(n-2)y + ... + x^(n-k-1)y^k + ... + xy^(n-2) + y^(n-1))$
Per esempio:
$(x^3-y^3)=(x-y)*(x^2+xy+y^2)$
MOD: aggiunto esempio.
$(x^n-y^n)=(x-y)*(x^(n-1)+x^(n-2)y + ... + x^(n-k-1)y^k + ... + xy^(n-2) + y^(n-1))$
Per esempio:
$(x^3-y^3)=(x-y)*(x^2+xy+y^2)$
MOD: aggiunto esempio.
"Lord K":
Se è $n$ la base della sommatoria allora:
$sum_(n=1)^(+oo) (3-e)^2 * [sum_(i=0)^n 3^(n-i)*e^i]^2*(1-cos(5^(-n)))$
E si vede che diverge!
Diverge perchè la parte tra parentesi quadre tende a $+oo$ al tendere di $n$ all'infinito.
La soluzione di lord k è sbagliata.
Utilizziamo una stima asintotica:
1. (3^n-e^n)^2 è asintotico a 3^(2n) per n che tende a più infinito
2. (1-cos(5^(-n)) è asintotico a 1/2* 5^(-2n) per n che tende a più infinito (ricorda che 1-cosx è asintotico a 1/2x^2 per x che tende a 0)
3. quindi il termine generale della serie è asintotico a 1/2(3/5)^(2n) ; poichè quest'ultimo è il termine generale di una serie geometrica convergente, anche la serie assegnata converge.
Utilizziamo una stima asintotica:
1. (3^n-e^n)^2 è asintotico a 3^(2n) per n che tende a più infinito
2. (1-cos(5^(-n)) è asintotico a 1/2* 5^(-2n) per n che tende a più infinito (ricorda che 1-cosx è asintotico a 1/2x^2 per x che tende a 0)
3. quindi il termine generale della serie è asintotico a 1/2(3/5)^(2n) ; poichè quest'ultimo è il termine generale di una serie geometrica convergente, anche la serie assegnata converge.
"sylowww":
La soluzione di lord k è sbagliata.
Utilizziamo una stima asintotica:
1. (3^n-e^n)^2 è asintotico a 3^(2n) per n che tende a più infinito
2. (1-cos(5^(-n)) è asintotico a 1/2* 5^(-2n) per n che tende a più infinito (ricorda che 1-cosx è asintotico a 1/2x^2 per x che tende a 0)
3. quindi il termine generale della serie è asintotico a 1/2(3/5)^(2n) ; poichè quest'ultimo è il termine generale di una serie geometrica convergente, anche la serie assegnata converge.
Uhm... possibile che io sbagli, ma qui necessito di una dimostrazione scritta con tutti i crismi per convincere il mio ego ^_^
Ovvio che scherzo ma non sul fatto che vorrei tu scrivessi il dettaglio mediante il seguente link (per piacere):
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
grazie per avermi risposto infatti non capivo + nulla dalle risposte di lord k! 
solo una cosa non mi è chiaro perchè (3^n-e^n)^2 è asintotico a 3^(2n) per n che tende a più infinito..
solo una cosa non mi è chiaro perchè (3^n-e^n)^2 è asintotico a 3^(2n) per n che tende a più infinito..
$(3^n - e^n)^2 = (3^n(1 - 3^n/e^n))^2$. Per $n rarr +\infty$ $3^n/e^n = 0$ e concludi che è uguale a $(3^n)^2 = 3^(2n)$
Anche a me viene convergente con lo stesso metodo di silowww, l'ultimo passaggio l'ho fatto con la radice ennesima ma è equivalente.
Anche a me viene convergente con lo stesso metodo di silowww, l'ultimo passaggio l'ho fatto con la radice ennesima ma è equivalente.
Gatto ti ha scritto la giustificazione "rigorosa".
Un po' più intuitivamente: una somma di infiniti è asintotica all'infinito di ordine maggiore (esempio: x^5+x^3+1 è asintotico a x^5) qui abbiamo 3^n-e^n: l'infinito di ordine maggiore è 3^n (cioè quello di base maggiore, infatti 3>e).
quindi (3^n-e^n) è asintotico a 3^n. Ne segue che (3^n-e^n)^2 è asintotico a (3^n)^2, cioè a 3^(2n).
Altri esempi:
1) 3^n-n è asintotico a 3^n
2) logn-n è asintotico a -n
3) n^3+e^n-logn è asintotico a e^n
Basta che ricordi la "scala degli infiniti": logaritmi , potenze, esponenziali e nella somma consideri l'infinito di ordine maggiore.
Un po' più intuitivamente: una somma di infiniti è asintotica all'infinito di ordine maggiore (esempio: x^5+x^3+1 è asintotico a x^5) qui abbiamo 3^n-e^n: l'infinito di ordine maggiore è 3^n (cioè quello di base maggiore, infatti 3>e).
quindi (3^n-e^n) è asintotico a 3^n. Ne segue che (3^n-e^n)^2 è asintotico a (3^n)^2, cioè a 3^(2n).
Altri esempi:
1) 3^n-n è asintotico a 3^n
2) logn-n è asintotico a -n
3) n^3+e^n-logn è asintotico a e^n
Basta che ricordi la "scala degli infiniti": logaritmi , potenze, esponenziali e nella somma consideri l'infinito di ordine maggiore.
"Gatto89":
$(3^n - e^n)^2 = (3^n(1 - 3^n/e^n))^2$. Per $n rarr +\infty$ $3^n/e^n = 0$ e concludi che è uguale a $(3^n)^2 = 3^(2n)$
No!
$(3^n(1 - 3^n/e^n))^2$ con $n \to +oo$ tende a $-oo$ visto che $3/e>1$
Si scusa copiato male il raccoglimento io, quella roba in realtà è $e^n/3^n$
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