Serie a termini variabili
ragazzi ho una serie dove non so dove mettere mani in quanto sto cercando di capire come agire.
$\sum_{k=1}^infty (1+sin(kpi/2))/k$
allora per prima cosa ho provato la condizione necessaria per cui il limite va a zero per k che tende a infinito
secondo cosa visto che non posso utilizzare il confronto asintotico in quanto l argomento del coseno per k che tende a infinito esso non va a zero ma appunto a infinito. poi analizzando il sin esso è compreso tra due valori cioè $+1 e -1$ quindi ovviamente dovro' considerare il modulo di ciò ma non saprei come continuare help me.. grazie anticipatamente poi se potete dirmi come comportarmi con questi tipi di serie e quale strada proseguire in linea generale
$\sum_{k=1}^infty (1+sin(kpi/2))/k$
allora per prima cosa ho provato la condizione necessaria per cui il limite va a zero per k che tende a infinito
secondo cosa visto che non posso utilizzare il confronto asintotico in quanto l argomento del coseno per k che tende a infinito esso non va a zero ma appunto a infinito. poi analizzando il sin esso è compreso tra due valori cioè $+1 e -1$ quindi ovviamente dovro' considerare il modulo di ciò ma non saprei come continuare help me.. grazie anticipatamente poi se potete dirmi come comportarmi con questi tipi di serie e quale strada proseguire in linea generale
Risposte
non so se va bene tutto iter matematico ditemi voi se ho sbagliato allora essendo
$-1
$2/k$ ma questa e la serie armonica so che diverge di conseguenza diverge anche la mia serie giusto ???'
$-1
$2/k$ ma questa e la serie armonica so che diverge di conseguenza diverge anche la mia serie giusto ???'
il ragionamento che hai fatto non va bene perchè con una maggiorante divergente non si va da nessuna parte
piuttosto,è facile vedere che la serie data è a termini non negativi e fra i suoi addendi contiene tutti i termini del tipo $1/2,1/4,1/6,...$ e quindi è una maggiorante della serie di termine generale $1/(2k)$
piuttosto,è facile vedere che la serie data è a termini non negativi e fra i suoi addendi contiene tutti i termini del tipo $1/2,1/4,1/6,...$ e quindi è una maggiorante della serie di termine generale $1/(2k)$
cioè tu dici che la mia serie e composta anche dalla serie armonica cioe $1/k+(sin(pik/2))/k$ quindi sicuramente è un maggiorante della serie armonica $1/k<1/k+(sin(pik/2))/k$ di conseguenza se la serie armonica diverge per il confronto diverge anche la mia serie giusto ??
no, io ho detto che la serie data è maggiorante della serie di termine generale $1/(2k)$(che è divergente)
sisi il senso era quello ho sbagliato a scrivere per essere piu formale dovrei scrivere $\sum_{k=1}^infty1/k<\sum_{k=1}^infty(1/k+(sin(pik/2))/k)$ in quanto la somma della serie armonica è $1/(2k)$ ed è minore della mia serie per questo la mia serie diverge
la disuguaglianza che hai scritto non l'abbiamo dimostrata
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