Serie a termini positivi o negativi?

[Primavera2]

Svolgendo questa serie non sono riuscito a capire se fosse a termini positivi o negativi
$ sum_(n = 1)^(+oo ) (logn-sqrt(n))/(n^2-n-1) $ Leggendo la soluzione dell'esercizio ho trovato che è a termini definitivamente negativi ma nn mi spiego il perchè mentre quest'altra $ sum_(n = 1)^(+oo ) ((n^2)/(n^2+1))^7 $ sia a termini positivi.
Grazie.

[ciampax]

Provato a risolvere la disequazione [tex]$\frac{\log x-\sqrt{x}}{x^2-x-1}$[/tex] con la condizione che $x\ge 1$?
Per la seconda, ragiona come sopra (anche se non capisco cosa ci trovi di complicato a capire che è a termini positivi)!

[Primavera2]

Bho forse non mi entra proprio in testa ma non ho capito il motivo del perchè hai imposto x≥1 per la prima e non x≥0.
Cioè so bene che una serie si dice a termini positivi quando tutti i suoi termini sono reali positivi eche tali serie possono solo divergere o convergere, ma non capisco come faccio ad inquadrare bene quando questi termini sono positivi!

[ciampax]

Ho sostituito la $x$ con $n$... che nella serie parte da $1$ (non da zero!).
Per vedere quando i termini sono positivi, devi semplicemente far vedere che il termine generale risulti sempre positivo, che è esattamente quello che ti ho detto di fare. E' una cosa da prima liceo, da ottenere con disequazioni e proprietà di potenze ed operazioni base. Ragiona un po' su! E comunque non mi hai detto perché la seconda è a termini positivi.

[Primavera2]

Allora quindi se ho capito bene nel primo esempio avrei al numeratore $ logx>=sqrt(x)+1 $ che non è vera per nessuna x.
Poi al denominatore avrei $ x^2-x-2>0 $ quindi per valori esterni a 2 e -1 e quindi in tutto avrei che la frazione è $ >=1 $ per $ -1

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[ciampax]

Ma che hai scritto? Le disequazioni da risolvere sono $\log x-\sqrt{x}\ge 0,\ x^2-x-1>0$. perché hai aumentato di $1$?

Per la seconda dici bene.

[Primavera2]

Per la prima ho sbagliato perchè avevo visto che n=1 ma cmq devo fare sempre il termine generale >0 e aggiungere la condizione x>1 giusto? quindi in questo caso sarebbe come risolvere questo sistema?
$ { (logx-sqrt(x)>=0 vv x^2-x-1>0),( x>1 ):} $

[ciampax]

Il sistema da risolvere è

[tex]$\left\{\begin{array}{l}
\frac{\log x-\sqrt{x}}{x^2-x-1}>0\\ x\ge 1
\end{array}\right.$[/tex]

[Primavera2]

Ok grazie mille per la pazienza