Serie a termini positivi, convergente
Salve, ho qualche problema con una serie e volevo chiedere aiuto. La serie in questione è $\sum_{n=0}^oo [((2n)!)^(1/4)]/(n+2)^(n/2)$ . Devo dimostrare che converga. Tuttavia dopo aver applicato il criterio del rapporto mi imbatto in $(1-(1/(n+3)))^(n/2)$ che non so come ricondurre al limite notevole di nepero. Qualcuno può aiutarmi ?
Risposte
Ciao davide.fede,
In effetti la serie proposta $\sum_{n=0}^{+\infty} [((2n)!)^(1/4)]/(n+2)^(n/2) $ converge per il criterio del rapporto:
$lim_{n\to +infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n\to +infty} frac{[(2n + 2)!]^{1/4}/(n+3)^((n + 1)/2)}{[((2n)!)^(1/4)]/(n+2)^(n/2)} = lim_{n\to +infty} [frac{(2n + 2)!}{(2n)!}]^{1/4} \cdot frac{(n + 2)^{n/2}}{(n + 3)^{(n + 1)/2}} = $
$ = lim_{n\to +infty} [(2n + 2)(2n + 1)]^{1/4} \cdot frac{1}{(n + 3)^{1/2}} \cdot (frac{n + 2}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} [(2n + 2)(2n + 1)]^{1/4} \cdot frac{1}{[(n + 3)^2]^{1/4}} \cdot (frac{n + 2}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot (frac{n + 2}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot (frac{n + 3 - 1}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot (1 + frac{- 1}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot [(1 + frac{- 1}{n + 3})^{n + 3}]^{frac{n}{2n + 6}} = $
$ = root[4]{4} \cdot e^{-1/2} = frac{sqrt{2}}{sqrt{e}} = sqrt{frac{2}{e}} < 1 $
Quindi la serie proposta è convergente.
In effetti la serie proposta $\sum_{n=0}^{+\infty} [((2n)!)^(1/4)]/(n+2)^(n/2) $ converge per il criterio del rapporto:
$lim_{n\to +infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n\to +infty} frac{[(2n + 2)!]^{1/4}/(n+3)^((n + 1)/2)}{[((2n)!)^(1/4)]/(n+2)^(n/2)} = lim_{n\to +infty} [frac{(2n + 2)!}{(2n)!}]^{1/4} \cdot frac{(n + 2)^{n/2}}{(n + 3)^{(n + 1)/2}} = $
$ = lim_{n\to +infty} [(2n + 2)(2n + 1)]^{1/4} \cdot frac{1}{(n + 3)^{1/2}} \cdot (frac{n + 2}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} [(2n + 2)(2n + 1)]^{1/4} \cdot frac{1}{[(n + 3)^2]^{1/4}} \cdot (frac{n + 2}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot (frac{n + 2}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot (frac{n + 3 - 1}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot (1 + frac{- 1}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot [(1 + frac{- 1}{n + 3})^{n + 3}]^{frac{n}{2n + 6}} = $
$ = root[4]{4} \cdot e^{-1/2} = frac{sqrt{2}}{sqrt{e}} = sqrt{frac{2}{e}} < 1 $
Quindi la serie proposta è convergente.
"pilloeffe":
Ciao davide.fede,
In effetti la serie proposta $\sum_{n=0}^{+\infty} [((2n)!)^(1/4)]/(n+2)^(n/2) $ converge per il criterio del rapporto:
$lim_{n\to +infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n\to +infty} frac{[(2n + 2)!]^{1/4}/(n+3)^((n + 1)/2)}{[((2n)!)^(1/4)]/(n+2)^(n/2)} = lim_{n\to +infty} [frac{(2n + 2)!}{(2n)!}]^{1/4} \cdot frac{(n + 2)^{n/2}}{(n + 3)^{(n + 1)/2}} = $
$ = lim_{n\to +infty} [(2n + 2)(2n + 1)]^{1/4} \cdot frac{1}{(n + 3)^{1/2}} \cdot (frac{n + 2}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} [(2n + 2)(2n + 1)]^{1/4} \cdot frac{1}{[(n + 3)^2]^{1/4}} \cdot (frac{n + 2}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot (frac{n + 2}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot (frac{n + 3 - 1}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot (1 + frac{- 1}{n + 3})^{n/2} = $
$ = lim_{n\to +infty} root[4]{frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 6n + 9}} \cdot [(1 + frac{- 1}{n + 3})^{n + 3}]^{frac{n}{2n + 6}} = $
$ = root[4]{4} \cdot e^{-1/2} = frac{sqrt{2}}{sqrt{e}} = sqrt{frac{2}{e}} < 1 $
Quindi la serie proposta è convergente.
Grazie mille, gentile come sempre. Mi ero perso un passaggio !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo