Serie a termini non costanti
Data la serie con parametro $x$ determinare per quali valori del parametro reale $x$ la serie
$\sum_{n=1}^(+infty) (-1)^n*1/(n^2+2)*((x-1)/(x+1))^n$ converge distinguendo tra convergenza semplice e assoluta e considerato esplicitamente il comportamento agli estremi degli intervalli di convergenza
Allora usando il criterio della radice con il modulo ho trovato che il limite della serie in modulo tende a $|(x-1)/(x+1)|$ e quindi se
$|(x-1)/(x+1)|<1$, cioè per $x>0$ allora la serie converge assolutamente.
Se $x=0$ ottengo una $p-serie$ che per il confronto asintotico converge.
Se $x<0$ la serie non converge e diverge dove è a termini di segno costante.
Qui ho delle difficoltà a trovare per quali valori di $x$ diverge.
Infatti nella serie $\sum_{n=1}^(+infty) (-1)^n*1/(n^2+2)*((x-1)/(x+1))^n$ il termine
$(1/(n^2+2))>0$ e quindi dovrei studiare quando $[(-1)^n*((x-1)/(x+1))^n]>0$ ma non so come procedere e non capisco se sto sbagliando l'approccio.
Qualcuno può darmi una mano/spunto su come procedere.
Grazie
$\sum_{n=1}^(+infty) (-1)^n*1/(n^2+2)*((x-1)/(x+1))^n$ converge distinguendo tra convergenza semplice e assoluta e considerato esplicitamente il comportamento agli estremi degli intervalli di convergenza
Allora usando il criterio della radice con il modulo ho trovato che il limite della serie in modulo tende a $|(x-1)/(x+1)|$ e quindi se
$|(x-1)/(x+1)|<1$, cioè per $x>0$ allora la serie converge assolutamente.
Se $x=0$ ottengo una $p-serie$ che per il confronto asintotico converge.
Se $x<0$ la serie non converge e diverge dove è a termini di segno costante.
Qui ho delle difficoltà a trovare per quali valori di $x$ diverge.
Infatti nella serie $\sum_{n=1}^(+infty) (-1)^n*1/(n^2+2)*((x-1)/(x+1))^n$ il termine
$(1/(n^2+2))>0$ e quindi dovrei studiare quando $[(-1)^n*((x-1)/(x+1))^n]>0$ ma non so come procedere e non capisco se sto sbagliando l'approccio.
Qualcuno può darmi una mano/spunto su come procedere.
Grazie
Risposte
Ho provato anche con un compagno ma non ne veniamo a una.
Cioè per me è chiaro che per $x<0$ la serie non converga ma come si fa a far vedere che i termini sono a termini costanti dato che c'è $(-1)^n)$ affinché la serie diverga.
Cioè per me è chiaro che per $x<0$ la serie non converga ma come si fa a far vedere che i termini sono a termini costanti dato che c'è $(-1)^n)$ affinché la serie diverga.
Credo che ormai le tue domande non siano più adatte all'area della Scuola Secondaria. Sposto in Analisi.
Semplicemente, $(-1)^n ((x-1)/(x+1))^n = ((1-x)/(x+1))^n$ per proprietà delle potenze…
Grazie... non ci avevo proprio pensato...che sbadato
"Aletzunny":
Grazie... non ci avevo proprio pensato...che sbadato
Non ti preoccupare. Così si impara. Continua a esercitarti.
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