Serie a segni alterni - Criterio di Leibiniz

[dennyroses]

Salve a tutti, ho un dubbio sulle serie a segno alterno, ovvero sia le serie del tipo $ sum((-1)^n a(n)) $

Le possibili strade per lo studio del carattere sono:

1) Studio della convergenza assoluta

2) Criterio di Leibiniz.

Applicando il criterio di Leibiniz, che è un criterio sufficiente, devo verificare le due condizioni:

1) $ a(n)rarr 0 $

2) $ a(n) $ decrescente

Il mio dubbio è questo: nel caso in cui il termine generale va a zero, ma non è decrescente, posso comunque affermare che la serie converge?
La mia professoressa ha ripetuto più volte "La prima condizione è necessaria a prescindere".

[chisigma]

"pier5302748":Salve a tutti, ho un dubbio sulle serie a segno alterno, ovvero sia le serie del tipo $ sum((-1)^n a(n)) $

Le possibili strade per lo studio del carattere sono:

1) Studio della convergenza assoluta

2) Criterio di Leibiniz.

Applicando il criterio di Leibiniz, che è un criterio sufficiente, devo verificare le due condizioni:

1) $ a(n)rarr 0 $

2) $ a(n) $ decrescente

Il mio dubbio è questo: nel caso in cui il termine generale va a zero, ma non è decrescente, posso comunque affermare che la serie converge?
La mia professoressa ha ripetuto più volte "La prima condizione è necessaria a prescindere".

Un'estensione del criterio di Leibnitz che permette di dimostrare la convergenza di una serie in casi non coperti da esso e' il criterio di convergenza di Dirichlet. Esso afferma che, date due sequenze $a_{n}$ e $b_{n}$ tali che...

a) $0< a_{n+1} \le a_{n}$ per ogni n...

b) $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$...

c) $|\sum_{n=1}^{N} b_{n}| \le M$ per ogni intero N...

... allora la serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\ b_{n}$ converge...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$