Serie a segni alterni
Ciao a tutti!
Ho un problema con una serie a segni alterni:
$ sum_(n = 1)^(+oo)(-1)^n*1/(nlogn) $
Per il criterio di Leibniz la serie converge ma non riesco a capire se converge semplicemente o assolutamente o meglio mi è stato detto che converge semplicemente ma non capisco il ragionamento che porta a verificare questa soluzione, mi potreste dare una mano perfavore? Grazie ciao Ale
Ho un problema con una serie a segni alterni:
$ sum_(n = 1)^(+oo)(-1)^n*1/(nlogn) $
Per il criterio di Leibniz la serie converge ma non riesco a capire se converge semplicemente o assolutamente o meglio mi è stato detto che converge semplicemente ma non capisco il ragionamento che porta a verificare questa soluzione, mi potreste dare una mano perfavore? Grazie ciao Ale
Risposte
Per vedere se converge assolutamente applica il criterio di condensazione di chauchy alla serie dei valori assoluti.
Ciao Klarence!
Mi è venuta in mente questa cosa non so se è corretta:
$ |(-1)^n*1/(nlogn)|=1/(nlogn)=1/log(n)^n $
$ 1/log(n)^n>=1/logn>=1/n>=0 $ per $ n>1 $
quindi visto che $ 1/n $ diverge anche la serie $ |1/(nlogn)| $ come maggiorante di una serie divergente, diverge
$ rArr $ $ sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^n*1/(nlogn) $ per il criterio di Leibniz converge ma essendo $ |1/(nlogn)| $ divergente
la serie a segni alterni converge solo semplicemente.
Potrebbe essere?
Mi è venuta in mente questa cosa non so se è corretta:
$ |(-1)^n*1/(nlogn)|=1/(nlogn)=1/log(n)^n $
$ 1/log(n)^n>=1/logn>=1/n>=0 $ per $ n>1 $
quindi visto che $ 1/n $ diverge anche la serie $ |1/(nlogn)| $ come maggiorante di una serie divergente, diverge
$ rArr $ $ sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^n*1/(nlogn) $ per il criterio di Leibniz converge ma essendo $ |1/(nlogn)| $ divergente
la serie a segni alterni converge solo semplicemente.
Potrebbe essere?
Si va bene anche così.
Mi è venuto un dubbio ma
$ 1/log(n)^n <= 1/logn $
Quindi ciò che ho scritto credo sia falso. Help!!!
Ho provato anche il criterio di Cauchy ma arrivo alla $ sum_(n = 0)^(+oo)1/log2^n $
e applicando il criterio del rapporto il limite mi viene 1
$ 1/log(n)^n <= 1/logn $
Quindi ciò che ho scritto credo sia falso. Help!!!
Ho provato anche il criterio di Cauchy ma arrivo alla $ sum_(n = 0)^(+oo)1/log2^n $
e applicando il criterio del rapporto il limite mi viene 1
Il ragionamento che avevo fatto in precedenza è sbagliato ma credo di aver capito come risorverla con il criterio di Cauchy
$ 1/(nlogn) $ è una successione a termini positivi e monotona decrescente e la serie 'condensata': $ sum_(n = 0)^(+oo)1/(nlog2) $ è
divergente perchè $ 1/(nlog2) $ a meno di costanti è il termine generale della serie armonica che diverge quindi
$ sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^n*1/(nlogn) $ è semplicemente convergente.
Credo che così vada bene, grazie Klarence
$ 1/(nlogn) $ è una successione a termini positivi e monotona decrescente e la serie 'condensata': $ sum_(n = 0)^(+oo)1/(nlog2) $ è
divergente perchè $ 1/(nlog2) $ a meno di costanti è il termine generale della serie armonica che diverge quindi
$ sum_(n = 0)^(+oo) (-1)^n*1/(nlogn) $ è semplicemente convergente.
Credo che così vada bene, grazie Klarence
E' proprio così. E scusami per prima, avrei dovuto vedere l'errore nel primo tentativo che hai fatto.
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