Serie a segni alterni
Ho un dubbio sulla seguente serie :$\sum_{n}^{oo} (-1)^n(tan(root(9)(n^9+n^7)-root(5)(n^5-n^3)))^a
Utilizzando la di hopital ho visto che l'argomento della tangente tende a 0 e quindi dovrebbe essere lecito sostituire tanx con x a questo punto però mi blocco. Forse potrei trovare una successione con lo stesso comportamento asintotico ma non ci riesco..
Qualsiasi suggerimento sarà apprezzato, grazie.
Utilizzando la di hopital ho visto che l'argomento della tangente tende a 0 e quindi dovrebbe essere lecito sostituire tanx con x a questo punto però mi blocco. Forse potrei trovare una successione con lo stesso comportamento asintotico ma non ci riesco..
Qualsiasi suggerimento sarà apprezzato, grazie.
Risposte
Come hai già detto, si tratta di stabilire quanto velocemente vada $tan(\root(9)(n^9+n^7)-\root(5)(n^5-n^3))$ a zero.
Ovviamente, per fare questo, sarebbe stato molto più utile risolvere il limite $lim_(x\to +oo) \root(9)(x^9+x^7)-\root(5)(x^5-x^3)$ senza usare il teorema del marchese...
Ma mi arrendo: ormai non mi sforzo nemmeno di dirlo più, è una battaglia persa (soprattutto con quelli che vengono dallo scientifico
).
Ad ogni modo, nota che:
$\root(9)(n^9+n^7)-\root(5)(n^5-n^3)=n*[\root(9)(1+1/n^2)-\root(5)(1-1/n^2)]=n*[(\root(9)(1+1/n^2)-1)-(\root(5)(1-1/n^2)-1)]$
ed usa il limite fondamentale $lim_(y\to 0) ((1+y)^theta -1)/y=theta$.
Fatto ciò, hai stabilito l'ordine d'infinitesimo di $\root(9)(n^9+n^7)-\root(5)(n^5-n^3)$ e quindi anche di $tan(\root(9)(n^9+n^7)-\root(5)(n^5-n^3))$; dopodiché ti basta ragionare asintoticamente per ottenere condizioni su $a$ per la convergenza assoluta; con un po' di sforzo in più, otterrai pure condizioni per la convergenza semplice (ad occhio, basta confrontare con la serie armonica alternata).
*** EDIT: Grazie VG.
Ovviamente, per fare questo, sarebbe stato molto più utile risolvere il limite $lim_(x\to +oo) \root(9)(x^9+x^7)-\root(5)(x^5-x^3)$ senza usare il teorema del marchese...
Ma mi arrendo: ormai non mi sforzo nemmeno di dirlo più, è una battaglia persa (soprattutto con quelli che vengono dallo scientifico
).Ad ogni modo, nota che:
$\root(9)(n^9+n^7)-\root(5)(n^5-n^3)=n*[\root(9)(1+1/n^2)-\root(5)(1-1/n^2)]=n*[(\root(9)(1+1/n^2)-1)-(\root(5)(1-1/n^2)-1)]$
ed usa il limite fondamentale $lim_(y\to 0) ((1+y)^theta -1)/y=theta$.
Fatto ciò, hai stabilito l'ordine d'infinitesimo di $\root(9)(n^9+n^7)-\root(5)(n^5-n^3)$ e quindi anche di $tan(\root(9)(n^9+n^7)-\root(5)(n^5-n^3))$; dopodiché ti basta ragionare asintoticamente per ottenere condizioni su $a$ per la convergenza assoluta; con un po' di sforzo in più, otterrai pure condizioni per la convergenza semplice (ad occhio, basta confrontare con la serie armonica alternata).
*** EDIT: Grazie VG.
@Gugo - hai perso una $n$ nella riga che segue "nota che:" (lo dico perche' e' in un punto importante)
Hai tutto il mio appoggio nella crociata contro de l'Hospital
Hai tutto il mio appoggio nella crociata contro de l'Hospital
"ViciousGoblin":
@Gugo - hai perso una $n$ nella riga che segue "nota che:" (lo dico perche' e' in un punto importante)
Ho editato.
"ViciousGoblin":
Hai tutto il mio appoggio nella crociata contro de l'Hospital
Azzie... Quasi quasi mi iscrivo a facebook e creo un gruppo, tipo "Se usi de l'Hospital ti mando all'ospedale!"
mi togliete una curiosità: come mai tanto accanimento nei confronti del teorema di de l' Hospital? capisco che spesso si abusa nel suo utilizzo ma alla fine non cambia nulla se è applicato correttamente 
Il problema è che risolvere i limiti con de l'Hospital non sempre dà (immediatamente) le informazioni giuste per risolvere esercizi; inoltre chi si abitua ad usarlo frequentemente molte volte disimpara l'uso dei limiti fondamentali (che se si chiamano "fondamentali" un motivo ci sarà pure, no?).
Uno degli aspetti peggiori di de l'Hospital e' secondo me l'abitudine che si solito si assume di "applicarlo a macchinetta", senza rifllettere
troppo (posso capire che sia consolatorio e rassicurante avere un "procedimento universale" da applicare senza farsi troppe domande ,
ma la vita e' varia ed e' meglio cogliere piu' sfumature possibile ...)
Anche usando de l'Hospital bisogna procedere cum grano salis - per esempio di fronte al limite
$\lim_{x\to0]\frac{sin(x)-x}{\cos(x^2)(tan(x)-x)}$
quanta gente comincerebbe a derivare sopra e sotto e quanta farebbe preliminarmente l'osservazione:
$\lim_{x\to0]\frac{sin(x)-x}{\cos(x^2)(tan(x)-x)}=\lim_{x\to0]\frac{sin(x)-x}{(tan(x)-x)}$
(perche' il coseno tende a uno) ?
troppo (posso capire che sia consolatorio e rassicurante avere un "procedimento universale" da applicare senza farsi troppe domande ,
ma la vita e' varia ed e' meglio cogliere piu' sfumature possibile ...)
Anche usando de l'Hospital bisogna procedere cum grano salis - per esempio di fronte al limite
$\lim_{x\to0]\frac{sin(x)-x}{\cos(x^2)(tan(x)-x)}$
quanta gente comincerebbe a derivare sopra e sotto e quanta farebbe preliminarmente l'osservazione:
$\lim_{x\to0]\frac{sin(x)-x}{\cos(x^2)(tan(x)-x)}=\lim_{x\to0]\frac{sin(x)-x}{(tan(x)-x)}$
(perche' il coseno tende a uno) ?
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