Serie a segni alterni

[marsluca7]

Ragazzi le ho provate tutte con la seguente serie che converge ma non riesco a dimostrarlo.

$ sum_(n = 0)^(+oo ) (-1)^n*(2^n+n!)/((n+1)!) $

- Convergenza assoluta + Criterio rapporto = inconcludente (limite = 1)
- Convergenza assoluta + Criterio radice = inconcludente (limite = 1)
- Convergenza assoluta + Criterio confronto = inconcludente (risulta la somma di una serie divergente più una convergente)

Qualcuno ha idea su come potrei procedere con Leibniz per affermare che $ a_(n+1) <= a_n $ è l'unica opzione che ho studiato che mi rimane ma non è semplicissimo procedere con i calcoli.

[pilloeffe]

Ciao Luk_3D,

La serie proposta è convergente e fra l'altro non è neanche troppo complicato determinarne la somma, infatti si ha:

$ \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (2^n+n!)/((n+1)!) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n 2^n/((n+1)!) + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n!)/((n+1)!) = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 2)^n/((n+1)!) + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n 1/(n+1) = -1/2 \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 2)^{n + 1}/((n+1)!) + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n 1/(n+1) $

[marsluca7]

Grazie mille, con i tuoi passaggi mi è stata immediata la risoluzione con Leibniz delle due serie!

[pilloeffe]

"Luk_3D":Grazie mille

Prego!
Per completezza riporto anche la somma della serie proposta:

$ \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (2^n+n!)/((n+1)!) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n 2^n/((n+1)!) + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n (n!)/((n+1)!) = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 2)^n/((n+1)!) + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n 1/(n+1) = -1/2 \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 2)^{n + 1}/((n+1)!) + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n 1/(n+1) = $
$ = 1/2 - 1/(2e^2) + ln2 = 1/2(1 - 1/e^2 + ln4) $