Serie a segni alterni
Data la serie \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-3)^n}{1+n^2} \) determinare se converge, diverge o è indeterminata.
Sto provando diversi metodi, ma non riesco a venirne fuori.
Non posso utilizzare nè il criterio della radice nè quello del rapporto poichè questi ultimi esigono che la serie sia a termini positivi.
Se considero la serie dei moduli esce fuori che la serie diverge, e allora non posso concludere nulla.
Non posso usare il criterio di Leibniz poichè la successione \(\displaystyle \frac{3^n}{1+n^2} \) non è infinitesima.
Qualche consiglio?
Sto provando diversi metodi, ma non riesco a venirne fuori.
Non posso utilizzare nè il criterio della radice nè quello del rapporto poichè questi ultimi esigono che la serie sia a termini positivi.
Se considero la serie dei moduli esce fuori che la serie diverge, e allora non posso concludere nulla.
Non posso usare il criterio di Leibniz poichè la successione \(\displaystyle \frac{3^n}{1+n^2} \) non è infinitesima.
Qualche consiglio?
Risposte
Può convergere?
Può divergere (in uno dei due versi)?
Può divergere (in uno dei due versi)?
"gugo82":
Può convergere?
Può divergere (in uno dei due versi)?
Per la condizione necessaria per la convergenza di una serie si ha che se la successione non è infinitesima allora la serie non può convergere.
Facendo il limite per n che tende a infinito di quella successione ottengo che questa tende a infinito, non a zero... dunque la serie di partenza non può convergere, no?
Però ho solo escluso la convergenza... ora la mia serie diverge o è indeterminata?
"arnett":
Il termine generale non diverge, rifai il limite e ti sarà chiaro anche il comportamento della serie
Il termine generale è oscillante... dunque?
Non solo oscilla, ma oscilla “selvaggiamente”, troppo per poter divergere in un senso o nell’altro.
Pensaci un po’.
Per $n=2h$ hai:
\[
\frac{3^{2h}}{4h^2 + 1} - \frac{3^{2h+1}}{4h^2 + 4h + 2} = 3^{2h} \ \frac{(-8 h^2 + 4h - 1)}{\text{roba positiva}} < - \frac{3^{2h} }{\text{roba positiva}}
\]
e ciò implica che la sottosuccessione delle somme parziali $s_1, s_3, s_5, …$ è decrescente strettamente; con gli stessi conti (che lascio volentieri a te), riesci a provare che la sottosuccessione $s_0, s_2, s_4, …$ è strettamente crescente e che $s_0>s_1$.
Quindi, può mai divergere la tua serie?
P.S.: Osserva che non ho fatto altro che adattare la linea di ragionamento usata per provare il Criterio di Leibniz alla nuova situazione.
Lo studio della teoria dovrebbe fornirti anche questi strumenti.
Pensaci un po’.
Per $n=2h$ hai:
\[
\frac{3^{2h}}{4h^2 + 1} - \frac{3^{2h+1}}{4h^2 + 4h + 2} = 3^{2h} \ \frac{(-8 h^2 + 4h - 1)}{\text{roba positiva}} < - \frac{3^{2h} }{\text{roba positiva}}
\]
e ciò implica che la sottosuccessione delle somme parziali $s_1, s_3, s_5, …$ è decrescente strettamente; con gli stessi conti (che lascio volentieri a te), riesci a provare che la sottosuccessione $s_0, s_2, s_4, …$ è strettamente crescente e che $s_0>s_1$.
Quindi, può mai divergere la tua serie?
P.S.: Osserva che non ho fatto altro che adattare la linea di ragionamento usata per provare il Criterio di Leibniz alla nuova situazione.
Lo studio della teoria dovrebbe fornirti anche questi strumenti.
Chiarissimo, grazie mille 
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