Serie a segni alterni

[davide.fede1]

Salve, riporto una serie che non riesco a svolgere: $\sum_{n=1}^oo (-1)^(n)[(n-1)/n^n]$ . Ho applicato il Criterio di Leibniz, quindi il $\lim_{n \to \infty}(n-1)/n^n$ $=$ $0$ ma poi mi blocco perché non riesco a dimostrare che $a_{n+1}

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Risposte

pilloeffe

29 gen 2018, 23:41

Ciao davide.fede,

Applicherei il criterio del rapporto alla serie assoluta:

$sum_{n=1}^{+\infty} (n-1)/n^n $

Posto $ a_n := (n-1)/n^n $ si ha:

$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{n/(n + 1)^{n + 1}}{(n-1)/n^n} = lim_{n \to +\infty} frac{n}{n-1} \cdot frac{n^n}{(n+1)^{n + 1}} = lim_{n \to +\infty} frac{n}{n^2 -1} \cdot frac{1}{(1+1/n)^{n}} = 0 $

Dunque la serie proposta è assolutamente convergente e quindi semplicemente convergente.

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Weierstress

29 gen 2018, 23:53

Forse con il criterio della radice è ancora più immediato: $root(n)((n-1)/n^n)=1/nrarr0$ ricordando che $n-1∼n$ e $root(n)(n)=1$

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[pilloeffe]

Ciao davide.fede,

Applicherei il criterio del rapporto alla serie assoluta:

$sum_{n=1}^{+\infty} (n-1)/n^n $

Posto $ a_n := (n-1)/n^n $ si ha:

$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{n/(n + 1)^{n + 1}}{(n-1)/n^n} = lim_{n \to +\infty} frac{n}{n-1} \cdot frac{n^n}{(n+1)^{n + 1}} = lim_{n \to +\infty} frac{n}{n^2 -1} \cdot frac{1}{(1+1/n)^{n}} = 0 $

Dunque la serie proposta è assolutamente convergente e quindi semplicemente convergente.

[Weierstress]

Forse con il criterio della radice è ancora più immediato: $root(n)((n-1)/n^n)=1/nrarr0$ ricordando che $n-1∼n$ e $root(n)(n)=1$