Serie a segni alterni

[DamunaTaliffato]

Ho la seguente serie:
\begin{equation}
\sum{\frac{x^n}{n}}
\end{equation}

Posso studiare la convergenza assoluta e poi applicare il teorema del rapporto: il limite del rapporto sarà |x|.
Quindi se |x| < 1 la serie converge assolutamente e quindi converge. per x = 1 e x = -1 ho studiato separatamente i casi, e non trovo nessuna difficoltà.
Ora, per |x|> 1 la serie cosa fa? Il mio professore deduce dal limite del valore assoluto del rapporto (che risulta |x|) che la serie diverge... Ma perché?
Chiaramente se il limite dei moduli è >1 la serie assoluta è crescente, e quindi non può convergere, ma come faccio a sapere se la serie senza valore assoluto diverge o è indeterminata?

[anto_zoolander]

Se $x>1$ la quantità $x^n/n->+infty$ quindi manca la condizione necessaria
Per $xleq-1$ si ha $(-1)^n*(-x)^n/n$ il cui limite non esiste

[DamunaTaliffato]

"anto_zoolander":Se $x>1$ la quantità $x^n/n->+infty$ quindi manca la condizione necessaria
Per $xleq-1$ si ha $(-1)^n*(-x)^n/n$ il cui limite non esiste

(Il caso x>1 mi torna)
E se il limite non esiste allora la serie non dovrebbe essere indeterminata e non divergente?

[DamunaTaliffato]

"anto_zoolander":Se $x>1$ la quantità $x^n/n->+infty$ quindi manca la condizione necessaria
Per $xleq-1$ si ha $(-1)^n*(-x)^n/n$ il cui limite non esiste

Poi per x = -1 per Liebniz la serie converge

[pilloeffe]

Ciao DamunaTaliffato,

"DamunaTaliffato":Poi per x = -1 per Liebniz la serie converge

Certamente (ma si scrive Leibniz o Leibnitz... ). Inoltre in tal caso se ne conosce anche la somma:

$sum_{n = 1}^{+\infty} frac{(-1)^n}{n} = - ln 2 = ln(1/2) $

dato che si tratta del caso particolare in cui $x = 1 $ del ben noto sviluppo in serie

$ln(1 + x) = sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n + 1}frac{x^n}{n} $