Serie
in generale viene chiesta la convergenza assoluta e non:
1_
$S_n =((x-1)^(2k))/(k^3)$
uso il criterio della radice e per $k->oo$ ho $(x-1)^2$
$(x-1)^2<1$
$0
la serie converge assolutamente per $0
2_ $S_n = (x+1)^k/2^k$
anche qui criterio della radice e ottengo $(x+1)/2$
$|(x+1)/2|<1$ per $-3
la serie converge assolutamente per $-3
giusto?
1_
$S_n =((x-1)^(2k))/(k^3)$
uso il criterio della radice e per $k->oo$ ho $(x-1)^2$
$(x-1)^2<1$
$0
la serie converge assolutamente per $0
2_ $S_n = (x+1)^k/2^k$
anche qui criterio della radice e ottengo $(x+1)/2$
$|(x+1)/2|<1$ per $-3
la serie converge assolutamente per $-3
giusto?
Risposte
UP
UP
up
$S_n$ sta per somma giusto?
No, è che non mi andava di fare il simbolo della serie...
Up
up
up
Cosa chiede esattamente il testo? Inoltre, nel primo esercizio che fine ha fatto il $ k^{3} $ quando ne calcoli la ridice?
individuare i valori del parametro $x$ per cui risultano convergenti le seguenti serie
per $x-> +oo$ $x^(1/x) = 1$
per $x-> +oo$ $x^(1/x) = 1$
up
up
L'esercizio è questo?
Per il primo hai usato il criterio della radice: \(\displaystyle \lim_{k \to +\infty } {\left(\frac{(x-1)^{2k}}{k^3}\right)}^{\frac{1}{k}} = \left( x-1\right)^2\)
e hai detto (correttamente) che c'è convergenza se \(\displaystyle (x-1)^2 <1 \), cioè se \(\displaystyle 0
Ma per \(\displaystyle x=0 \)? E per \(\displaystyle x=2 \)? Puoi dire qualcosa?
Per quali $x in RR$ le seguenti serie sono convergenti? Per quali $x in RR$ c'è convergenza assoluta?
\(\qquad \qquad \qquad \qquad \)[1] \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(x-1)^{2k}}{k^3} \) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)[2] \(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(x+1)^k}{2^k} \)
Per il primo hai usato il criterio della radice: \(\displaystyle \lim_{k \to +\infty } {\left(\frac{(x-1)^{2k}}{k^3}\right)}^{\frac{1}{k}} = \left( x-1\right)^2\)
e hai detto (correttamente) che c'è convergenza se \(\displaystyle (x-1)^2 <1 \), cioè se \(\displaystyle 0
Ma per \(\displaystyle x=0 \)? E per \(\displaystyle x=2 \)? Puoi dire qualcosa?
potrei dire che c'è convergenza assoluta per $0<= x <= 2$
Potresti non essere così ermetico e argomentare un po' ?
per $x=2$ ho $S_n =((x-1)^(2k))/(k^3) = (1^(2k))/(k^3)$ che converge essendo una successione di termini positivi quindi converge assolutamente e semplicemente
avendo esponente $2k$ stesso discorso vale per $x=0$
avendo esponente $2k$ stesso discorso vale per $x=0$
"Mrs92":Ma che vuol dire? Non è vero che se una serie è a termini positivi allora converge.
per $x=2$ ho $S_n =((x-1)^(2k))/(k^3) = (1^(2k))/(k^3)$ che converge essendo una successione di termini positivi quindi converge assolutamente e semplicemente
Ad esempio, $sum_{k=1}^{+oo} k$ è una serie a termini positivi, ma non converge.
Se volevi dire un'altra cosa, per favore spiegati meglio, usando la punteggiatura.
Ti faccio poi notare che dovresti scrivere il simbolo di serie: hai scritto troppi messaggi per non esserne capace.
Un aiuto: $sum_{k=1}^{+oo} 1/(k^3)$ si scrive \$sum_{k=1}^{+oo} 1/(k^3)\$
sì, scusami, volevo dire che siccome $sum_{k=1}^{+oo} 1^(2k)/(k^3)$ è convergente, ed è anche una serie a termini positivi, allora posso dire che converge sia assolutamente che semplicemente...
Ok, ora sono d'accordo. Ma la domanda è: perchè $sum_{k=1}^{+oo} 1^(2k)/k^3$ è convergente?
è convergente perchè è asintotica a $sum_{k=1}^{+oo} 1/(k^3)$ che è una serie armonica con esponente $3>1$
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