Serie

[MarkNin]

salve a tutti.
devo trovare l'insieme I dei valori del parametro x per cui la seguente serie converge:

$ sum_(n = 1)^(+oo)1/e^ntg(1/n)e^(nx) $

allora io procedo in questo modo:

pongo $y=e^x$

quindi applico il criterio della radice dove:

$ L=lim_(n->+oo) root(n)(an) $ quindi:
$ L=lim_(n->+oo) root(n)(1/e^n) root(n)(tg(1/n))=0$

quindi $r=+oo$

Adesso come faccio a trovare gli insiemi Ey e Ex???

grazie

[Hadronen]

Ma come fa questa serie a convergere per $AA x$ ? Si vede ad occhio che gia' per $x > 1$ non puo' convergere.

E cosa intendi per insiemi $E_y$ ed $E_x$ ?

[MarkNin]

allora quando devo trovare l'insieme di convergenza il prof ci ha fatto seguire questo procedimento:
impongo y=f(x)
poi
$L=lim_(n->+oo) root(n)(an)$ nel caso usi il criterio della radice, $L=lim_(n->+oo)(an+1)/(an)$ nel caso del criterio del rapporto.
dopo di che....
]-r,+r[ c Ey c [-r,+r]
quindi studio i 2 casi della y e vedo se una serie converge o no.
così mi trovo Ey
poi per trovarmi le x
$-r e quindi alla y sostituisco la funzione in x che avevo imposto
e quindi mi trovo l'insieme Ex

solo che il mio problema è nel caso di $r=+oo$ come devo ragionare?
Al prof può bastare dire che a occhio $ AA x > 1$ la serie non può convergere???

[Demostene92]

Io farei così:

$\sum_{n=1}^\infty\1/e^ntan(1/n)e^(nx)$

Posto $e^x=t$ ottieni:

$\sum_{n=1}^\infty\1/e^ntan(1/n)t^n$

A questo punto si calcola il raggio di convergenza, tenendo presente che:

$c_n=tan(1/n)/e^n$ e $c_(n+1)=tan(1/(n+1))/e^(n+1)$

Passando per il limite hai:

$\lim_{n \to \infty}|[e^(n+1)tan(1/n)]/[e^ntan(1/(n+1))]|=e\lim_{n \to \infty}|[tan(1/n)]/[tan(1/(n+1))]|=e$.

Il limite del rapporto delle due tangenti è lungo, ma ci si arriva con il teorema di De l'Hopital.

Quindi a questo punto hai che: $|t| -e -e
$-1
Se $x=-1$, la tua serie diventa:


$\sum_{n=1}^\infty\1/e^(2n)tan(1/n)$, ma:

$\sum_{n=1}^\infty\1/e^(2n)tan(1/n)<=\sum_{n=1}^\infty\1/e^(2n)<=\sum_{n=1}^\infty\1/n^2$.

Pertanto hai che per $x=-1$ la tua serie risulta minorante di una serie armonica generalizzata a esponente $2$, quindi è convergente.

In definitiva la tua serie converge per $-1<=x<1$.

P.S. Io ti sconsiglierei di dire a tuo prof che a occhio una serie diverge..

[Hadronen]

"Demostene92":Io farei così:

$\sum_{n=1}^\infty\1/e^ntan(1/n)e^(nx)$

Posto $e^x=t$ ottieni:

$\sum_{n=1}^\infty\1/e^ntan(1/n)t^n$

A questo punto si calcola il raggio di convergenza, tenendo presente che:

$c_n=tan(1/n)/e^n$ e $c_(n+1)=tan(1/(n+1))/e^(n+1)$

Passando per il limite hai:

$\lim_{n \to \infty}|[e^(n+1)tan(1/n)]/[e^ntan(1/(n+1))]|=e\lim_{n \to \infty}|[tan(1/n)]/[tan(1/(n+1))]|=e$.

Il limite del rapporto delle due tangenti è lungo, ma ci si arriva con il teorema di De l'Hopital.

Quindi a questo punto hai che: $|t| -e -e
$-1
Se $x=-1$, la tua serie diventa:


$\sum_{n=1}^\infty\1/e^(2n)tan(1/n)$, ma:

$\sum_{n=1}^\infty\1/e^(2n)tan(1/n)<=\sum_{n=1}^\infty\1/e^(2n)<=\sum_{n=1}^\infty\1/n^2$.

Pertanto hai che per $x=-1$ la tua serie risulta minorante di una serie armonica generalizzata a esponente $2$, quindi è convergente.

In definitiva la tua serie converge per $-1<=x<1$.

P.S. Io ti sconsiglierei di dire a tuo prof che a occhio una serie diverge..

No.

$e^x$ puo' mai valere $-e$ ? Il raggio di convergenza nella variabile $x$ è $(-oo, 1)$ .

Di conseguenza sono errati anche i due casi particolari.

Come primo approccio davanti ad una serie si possono fare delle osservazioni... Non è vederla ad occhio nel senso stretto: al numeratore per $x>1$ c'è qualcosa di troppo più grande rispetto al denominatore. Uno, ovviamente, glielo deve anche spiegare. Soprattutto in una prova orale non credo ci sia nulla di sbagliato, anzi.

[MarkNin]

e si questo dicevo io....cmq grazie per gli aiuti

[MarkNin]

allora ho provato a risolvere l'esercizio ed ho ottenuto che per la variabile y il raggio di convergenza è $]-oo,+oo[$
mentre per la variabile x non è mai negativo giusto?? quindi per le x > 1 la serie non converge tutto giusto??

[Hadronen]

"MarkNin":
$ L=lim_(n->+oo) root(n)(an) $ quindi:
$ L=lim_(n->+oo) root(n)(1/e^n) root(n)(tg(1/n))=0$

quindi $r=+oo$

Non va bene qui. Hai sbagliato il limite. ( $1/e$ ) ( da cui $R = e$, come dice Demostene92 )

[Hadronen]

"MarkNin":allora ho provato a risolvere l'esercizio ed ho ottenuto che per la variabile y il raggio di convergenza è $]-oo,+oo[$
mentre per la variabile x non è mai negativo giusto?? quindi per le x > 1 la serie non converge tutto giusto??

No. Leggi sopra.

[MarkNin]

ma posso risolverlo con il criterio della radice?

[MarkNin]

allora se applico il criterio della radice ottengo:
$ lim_(n -> +oo) root(n)(1/e^n)root(n)(tg(1/n)) $
allora la prima parte tende ad 1/e e fin qui ci siamo la seconda coma la risolvo??

[Hadronen]

"MarkNin":ma posso risolverlo con il criterio della radice?

Certo, ma non devi toppare.

[Hadronen]

"MarkNin":allora se applico il criterio della radice ottengo:
$ lim_(n -> +oo) root(n)(1/e^n)root(n)(tg(1/n)) $
allora la prima parte tende ad 1/e e fin qui ci siamo la seconda coma la risolvo??

La seconda puoi facilmente vederla come $(tan(1/n))^(1/n) \to 1$ per $ n \to oo$ .

[MarkNin]

certo
grazie