Serie

[MarkNin]

Salve a tutti,
sto svolgendo questo esercizio sulla serie solo che non riesco a procedere
allora questa è la serie $ sum_(n = 1)^(+oo) (1+1/n^2)^(n^2)*e^(n(x-1)) $
impongo $ y^n=e^(x-1) $
poi applico il criterio della radice dove :
$ L= lim_(n->+oo)root(n)(a_n) $
dove $ a_n = (1+1/n^2)^(n^2) $
quindi:

$ L= lim_(n->+oo)root(n)((1+1/n^2)^(n^2)) $

solo che ora non so come procedere.....
C'è qualcuno che potrebbe darmi qualche consiglio?
Ringrazio anticipatamente quanti interverranno....

[Hadronen]

$ L = lim_(n->+oo)root(n)((1+1/n^2)^(n^2)) = lim_(n->+oo)(1+1/n^2)^(n) = 1$

... da qui trovi $R = 1/L$ , raggio di convergenza della serie di potenze, e procedi nel modo usuale.

[MarkNin]

ok fin qui ci siamo....
]-1,1[ c Ey c [-1,1]
ora devo studiare i 2 casi:
y=-1 e y=1
sostituisco la y nella mia funzione e non so cosa fare??

grazie

[Hadronen]

Praticamente sei nella situazione di quest'altro utente... ?

chi-mi-saprebbe-dire-se-questa-serie-e-convergente-t99753.html

[MarkNin]

allora ti faccio vedere come ho fatto io e mi dici se ho sta bene
per il caso y=-1
$ sum_(n = 1)^(+oo) root(n)((1+1/n^2)^(n^2))*(-1)^n $
è una serie a armonica a segno alterno che per il criterio di leibniz converge
per il caso y=1
$ sum_(n = 1)^(+oo) root(n)((1+1/n^2)^(n^2))*(1)^n $
è una serie armonica generalizzata con $ prop > 1$ quindi converge
quindi Ey c [-1,1]
adesso
$ -1<= y <= 1 $
quindi
$ -1<= e^(x-1) <= 1 $
moltiplico tutto per il logaritmo
e ottengo che Ex c R

è giusto???

grazie