Serie
ciao a tutti!!!
Stavo svolgendo alcuni esercizi sulle serie, e volevo sapere se li sto svolgendo correttamente, dato che sulle dispense non ci sono i risultati...
$sum_{n=1}^(+infty) " "(-1)^nlog(1+e^-n)$
devo dire se la serie è convergente.
qui potrei procedere sia con il criterio del rapporto oppure considerare $f(x)=log(1+e^-x)$ notare che il $lim_(x->+infty)log(1+e^-x)$ è uguale a zero e che la funzione è decrescente (studiando il segno della derivata prima oppure dimostro che $b_(n+1)<=b_n$) e quindi stabilire che la serie è convergente, ora dato che ( se non ho commesso errori
) la serie è convergente devo scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di $10^3$
$|R_n|<=b_(n+1)$
quindi devo studiare
$log(1+e^-(n+1))<10^-3$ e determinare un $n$ tale che quella disuguaglianza sia vera e se non ho sbagliato mi viene fuori che è vera per $n=7$...
è corretto tutto il ragionamento?
Grazie a tutti anticipatamente.
Stavo svolgendo alcuni esercizi sulle serie, e volevo sapere se li sto svolgendo correttamente, dato che sulle dispense non ci sono i risultati...
$sum_{n=1}^(+infty) " "(-1)^nlog(1+e^-n)$
devo dire se la serie è convergente.
qui potrei procedere sia con il criterio del rapporto oppure considerare $f(x)=log(1+e^-x)$ notare che il $lim_(x->+infty)log(1+e^-x)$ è uguale a zero e che la funzione è decrescente (studiando il segno della derivata prima oppure dimostro che $b_(n+1)<=b_n$) e quindi stabilire che la serie è convergente, ora dato che ( se non ho commesso errori
) la serie è convergente devo scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di $10^3$$|R_n|<=b_(n+1)$
quindi devo studiare
$log(1+e^-(n+1))<10^-3$ e determinare un $n$ tale che quella disuguaglianza sia vera e se non ho sbagliato mi viene fuori che è vera per $n=7$...
è corretto tutto il ragionamento?
Grazie a tutti anticipatamente.
Risposte
La serie è anche assolutamente convergente.
Per la stima del resto il ragionamento è corretto (non ho però controllato il risultato).
PS: $f(x) = \log(1+e^{-n})$ non si può vedere
Per la stima del resto il ragionamento è corretto (non ho però controllato il risultato).
PS: $f(x) = \log(1+e^{-n})$ non si può vedere
Grazie mille, ho corretto... LOL
Hai corretto quello ma hai lasciato l'errore nel limite 
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