Serie
Ciao a tutti,
volevo proporvi degli esercizi che ho fatto per sapere se i ragionamenti fatti sono esatti.
1) $\sum_{n=1}^\infty\((1-e^(1/sqrt{n}))/(sqrt{n}*(n+1)))*((2^n+n)/(n^2+2^n))$
2) $\sum_{n=1}^\infty\(sen(sqrt{1+1/n}-1))$
per la 1) $(2^n+n)/(n^2+2^n)$ tende a 1 di conseguenza studio solo $(1-e^(1/sqrt{n}))/(sqrt{n}*(n+1))$, a questo punto pongo $t=1/sqrt{n}$ cosi da avere n=1/t^2.
se n tende a infinito ne segue che t tende a 0.
Dopo ho effettuato il confronto asintotico con t^3 cosi da ottenere il limite per t che tende a zero di $-(e^t-1)/(1/t*((1+t^2)/t^2))*1/t^3$ cosi da ottenere 0.
visto che $1/n^(3/2)$ converge lo fa pure $(1-e^(1/sqrt{n}))/(sqrt{n}*(n+1))$ di conseguenza la serie converge.
per la2) invece ho utilizzato leibniz ottenendo che la serie converge.
Sono giusti i ragionamenti?
Grazie
volevo proporvi degli esercizi che ho fatto per sapere se i ragionamenti fatti sono esatti.
1) $\sum_{n=1}^\infty\((1-e^(1/sqrt{n}))/(sqrt{n}*(n+1)))*((2^n+n)/(n^2+2^n))$
2) $\sum_{n=1}^\infty\(sen(sqrt{1+1/n}-1))$
per la 1) $(2^n+n)/(n^2+2^n)$ tende a 1 di conseguenza studio solo $(1-e^(1/sqrt{n}))/(sqrt{n}*(n+1))$, a questo punto pongo $t=1/sqrt{n}$ cosi da avere n=1/t^2.
se n tende a infinito ne segue che t tende a 0.
Dopo ho effettuato il confronto asintotico con t^3 cosi da ottenere il limite per t che tende a zero di $-(e^t-1)/(1/t*((1+t^2)/t^2))*1/t^3$ cosi da ottenere 0.
visto che $1/n^(3/2)$ converge lo fa pure $(1-e^(1/sqrt{n}))/(sqrt{n}*(n+1))$ di conseguenza la serie converge.
per la2) invece ho utilizzato leibniz ottenendo che la serie converge.
Sono giusti i ragionamenti?
Grazie
Risposte
Io avrei fatto diversamente. Si vede che il denominatore del termine generale è asintotico a $\sqrt{n} n$ mentre il numeratore è asintotico a $- \frac{1}{\sqrt{n}}$...
Comunque le tue considerazioni mi sembrano giuste.
Comunque le tue considerazioni mi sembrano giuste.
Sulla (2) perchè Leibniz?? Non è una serie a termini di segno alterno!
"ale.b":
Sulla (2) perchè Leibniz?? Non è una serie a termini di segno alterno!
Lo immaginavo, infatti avevo qualche dubbio...
Cosa dovrei applicare?
Il criterio dell'ordine di infinitesimo, per esempio. L'argomento del seno è un infinitesimo dello stesso ordine di $\frac{1}{n}$.
"Seneca":
Il criterio dell'ordine di infinitesimo, per esempio. L'argomento del seno è un infinitesimo dello stesso ordine di $\frac{1}{n}$.
Potresti essere più chiaro?
Certo. Se io ti faccio presente il limite notevole $\lim_{ y \to 0} \frac{ \sqrt{ 1 + y } - 1 }{y} = \frac{1}{2}$ riesci a capire quali passaggi puoi fare per concludere?
- sto supponendo che tu conosca il criterio dell'ordine di infinitesimo per le serie -
- sto supponendo che tu conosca il criterio dell'ordine di infinitesimo per le serie -
"Seneca":
Certo. Se io ti faccio presente il limite notevole $\lim_{ y \to 0} \frac{ \sqrt{ 1 + y } - 1 }{y} = \frac{1}{2}$ riesci a capire quali passaggi puoi fare per concludere?
- sto supponendo che tu conosca il criterio dell'ordine di infinitesimo per le serie -
sinceramente non lo conoscevo perchè il prof non l'ha spiegato, però l'ho appena cercato e adesso so cos'è.
Non ti seccare, ma visto che il prof non l'ha spiegato non penso gli vada bene che lo usi.
C'è qualche altro modo?
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