Serie

[alecxio]

Buonasera, non riesco a dimostrare che:
$ sum_(m = 0)^(oo ) ( ( m+k ),( k ) )*z^m = 1/(1-z)^(k+1) $

ho provato derivando, sfruttando il fatto che le serie di potenze sono derivabili infinite volte, per ricondurmi a qualcosa simile allo sviluppo della serie geometrica ma non riesco a capire come fare. Consigli?

[gugo82]

Beh, hai per definizione:

[tex]$\binom{m+k}{k} =\frac{(m+k)!}{k!\ m!}=\frac{1}{k!}\prod_{h=1}^{k}(m+h)$[/tex]

(ove per [tex]$k=0$[/tex] la produttoria vale [tex]$1$[/tex] per definizione), quindi:

[tex]$\phi(z)=\sum_{m=0}^{+\infty} \binom{m+k}{k}\ z^m= \frac{1}{k!}\ \sum_{m=0}^{+\infty}\prod_{h=1}^{k}(m+h)\ z^m$[/tex];

integrando [tex]$\phi$[/tex] [tex]$k$[/tex] volte e la serie a ultimo membro t.a.t. altrettante volte, si trova che una primitiva [tex]$k$[/tex]-esima [tex]$\Phi$[/tex] di [tex]$\phi$[/tex] (una primitiva [tex]$k$[/tex]-esima è una funzione tale che [tex]$\Phi^{(k)}=\phi$[/tex]) è quella data da:

[tex]$\Phi (z)=\frac{1}{k!}\ \sum_{m=0}^{+\infty} z^m$[/tex]

quindi:

[tex]$\Phi (z)=\frac{1}{k!}\ \frac{1}{1-z}$[/tex];

per ottenere [tex]$\phi$[/tex] bisogna derivare [tex]$k$[/tex] volte [tex]$\Phi$[/tex]: facendo ciò si trova proprio:

[tex]$\phi (z)=\frac{1}{(1-z)^{k+1}}$[/tex].

[alecxio]

Grazie mille per l'aiuto! ora ci penso un pò su ma ho capito il ragionamento di base!