Serie

[ciuf_ciuf]

Ho svolto questo esercizio e volevo sapere se è corretto

$ sum_(n=0)^(oo )n^2/(e^(nx)+1) $ si chiede di studiare convergenza puntuale e uniforme.

Per la convergenza puntuale applico il criterio del rapporto e trovo che $ lim_(n -> oo ) f_n = 1/(e^x) $ quindi $ 1/(e^x) < 1 $ per la convergenza.
Quindi per $x > 0$ la serie converge puntualmente, per x = 0 la serie diverge quindi dobbiamo escludere lo zero. $ ]0,oo [ $

Adesso cerco di trovare la convergenza totale ponendo la derivata $ f'_n(x) = 0 $

ottengo $ -( n^3·e^(n·x))/(e^(n·x) + 1)^2 = 0 $ che per x non si annulla mai, allora calcolo sup e inf

$ lim_(x -> -oo ) f_n = 0 $ e $ lim_(x -> +oo ) f_n = 0 $

quindi $ sum M_n $ converge totalmente => convergenza uniforme

Giusto oppure ho sbagliato qualcosa ? Grazie !

[ciuf_ciuf]

Un aiuto ?

[gugo82]

Mutatis mutandis, è la stessa situazione che abbiamo affrontato qui... Quindi mi farebbe piacere leggere una tua soluzione completa, visto che hai già tutti gli strumenti a disposizione per trovarla da solo.

[ciuf_ciuf]

Ho riflettuto un altro po' e continuo a pensare che l'unico problema si ha in x=0, quindi se considero un intervallo $[a, +oo] $ con a>0 ottengo una convergenza totale in quanto $ lim_(x -> a^+) f_n(x)=f_n(a) = n^2/(e^(na)+1) $ e la serie $ sum n^2/(e^(na)+1) $ converge.

Se ho sbagliato potresti almeno dirmi dove ?