Serie
Ragazzi un aiuto per favore, ho questa serie $ sum_(n = 1 )^(+oo ) e^x/(n(n+e^x)) $ si chiede di studiare la convergenza puntuale e uniforme.
Applico Raabe e vedo che il limite tende a 2 quindi la serie converge puntualmente. Adesso cerco di studiare la convergenza totale calcolando la derivata di $ f(x) = e^x/(n(n+e^x)) $ e ponendola a zero e ottengo
$ e^x/((n+e^x)^2) = 0 $ che non è vera per qualsiasi x. Questo cosa significa ? Visto che non posso ricavare il sup come devo procedere ?
Applico Raabe e vedo che il limite tende a 2 quindi la serie converge puntualmente. Adesso cerco di studiare la convergenza totale calcolando la derivata di $ f(x) = e^x/(n(n+e^x)) $ e ponendola a zero e ottengo
$ e^x/((n+e^x)^2) = 0 $ che non è vera per qualsiasi x. Questo cosa significa ? Visto che non posso ricavare il sup come devo procedere ?
Risposte
Al massimo non sai ricavare il massimo ed il minimo, perchè essi non sono assunti dalla funzione... Ma gli estremi superiore ed inferiore di [tex]$f_n(x)=\tfrac{e^x}{n(n+e^x)}$[/tex] si possono ottere studiando la monotonia di tale funzione (e quindi il segno della derivata).
L'estremo superiore è $ +oo $ o sbaglio ? Credo di non aver capito cosa fare sinceramente, potresti darmi qualche aiuto in più per favore ?
La derivata di [tex]$f_n$[/tex] è:
[tex]$f_n^\prime (x)=\frac{e^x}{(n+e^x)^2}$[/tex]
ed è positiva, sicché [tex]$f_n$[/tex] è strettamente crescente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e risulta:
[tex]$\inf f_n =\lim_{x\to -\infty} f_n(x) =0$[/tex] e [tex]$\sup f_n =\lim_{x\to +\infty} f_n (x)=1$[/tex];
ne viene che:
[tex]$M_n:=\sup |f_n|=1$[/tex]
e la serie [tex]$\sum M_n$[/tex] non è convergente, cosicché la serie assegnata non converge totalmente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Cosa succede se al posto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] considero, ad esempio, un intervallo del tipo [tex]$]-\infty, a]$[/tex]?
[tex]$f_n^\prime (x)=\frac{e^x}{(n+e^x)^2}$[/tex]
ed è positiva, sicché [tex]$f_n$[/tex] è strettamente crescente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e risulta:
[tex]$\inf f_n =\lim_{x\to -\infty} f_n(x) =0$[/tex] e [tex]$\sup f_n =\lim_{x\to +\infty} f_n (x)=1$[/tex];
ne viene che:
[tex]$M_n:=\sup |f_n|=1$[/tex]
e la serie [tex]$\sum M_n$[/tex] non è convergente, cosicché la serie assegnata non converge totalmente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Cosa succede se al posto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] considero, ad esempio, un intervallo del tipo [tex]$]-\infty, a]$[/tex]?
Ok grazie, ho capito come fare nel caso in cui non posso trovare il massimo. Volevo però chiederti, inf $f_n$ si deve sempre trovare ? mi spiego meglio a noi non interessa solo il sup di $ f_n $?
Un altra cosa l'intervallo che dobbiamo considerare $]-\infty, a]$ non deve essere con a < 0 per poter affermare che in quel intervallo la convergenza totale esiste ?
Grazie per la comprensione e scusa se magari dico sciocchezze ma è il primo esercizio di questo tipo e non so come comportarmi.
Un altra cosa l'intervallo che dobbiamo considerare $]-\infty, a]$ non deve essere con a < 0 per poter affermare che in quel intervallo la convergenza totale esiste ?
Grazie per la comprensione e scusa se magari dico sciocchezze ma è il primo esercizio di questo tipo e non so come comportarmi.
No, (che debba essere con a<0). Perchè?
si parlava di superiore...
si parlava di superiore...
Pensavo che dovesse essere a<0 in questo modo il $ \lim $ tendeva a 0 . Bo non capisco cosa fare ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Primo: Per studiare la convergenza totale ti interessa determinare [tex]$\sup |f_n|$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex]; si vede facilmente che (qualunque sia [tex]$f_n$[/tex]) risulta [tex]$\sup |f_n|=\max \{ |\sup f|,|\inf f|\}$[/tex], quindi ecco perchè ho determinato entrambi gli estremi.
Secondo: Hai visto che non ci può essere convergenza totale in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], quindi puoi chiederti: "cosa succede se prendo sottoinsiemi propri di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]?".
Visto che ciò che ti "dà fastidio" si concentra in [tex]$+\infty$[/tex] (perchè [tex]$\sup |f_n|=\sup f_n=\lim_{x\to +\infty} f_n(x) =1$[/tex] ed è questo valore per il [tex]$\sup$[/tex] a renderti impossibile la convergenza totale dappertutto), la cosa migliore da fare se vuoi convergenza totale sembra essere togliere alla variabile la possibilità di "scappare" verso [tex]$+\infty$[/tex]; ciò si fa semplicemente facendo variare [tex]$x$[/tex] in qualche insieme limitato superiormente [tex]$X\subseteq \mathbb{R}$[/tex].
Ogni insieme limitato superiormente [tex]$X$[/tex] è contenuto in qualche intervallo [tex]$]-\infty ,a]$[/tex], quindi basta capire cosa succede in tali intervalli per capire cosa accade nel caso generale.
Vista la monotonia e la continuità di [tex]$f_n$[/tex] si ha:
[tex]$\sup_{]-\infty ,a]} |f_n| =\sup_{]-\infty ,a]} f_n =\lim_{x\to a^-} f_n(x)=f_n(a)=\frac{e^a}{n(n+e^a)}$[/tex]
e la serie numerica [tex]\sum_n \frac{e^a}{n(n+e^a)}[/tex] converge (perchè asintoticamente equivalente ad una serie armonica generalizzata d'esponente [tex]$2$[/tex]).
Ne viene che [tex]\sum f_n[/tex] è totalmente convergente in ogni intervallo del tipo [tex]$]-\infty ,a]$[/tex]; ergo essa converge totalmente (e quindi assolutamente ed uniformemente) in ogni insieme [tex]$X\subseteq \mathbb{R}$[/tex] limitato superiormente.
La convergenza, invece, è solo puntuale se l'insieme [tex]$X$[/tex] non è limitato superiormente.
Secondo: Hai visto che non ci può essere convergenza totale in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex], quindi puoi chiederti: "cosa succede se prendo sottoinsiemi propri di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]?".
Visto che ciò che ti "dà fastidio" si concentra in [tex]$+\infty$[/tex] (perchè [tex]$\sup |f_n|=\sup f_n=\lim_{x\to +\infty} f_n(x) =1$[/tex] ed è questo valore per il [tex]$\sup$[/tex] a renderti impossibile la convergenza totale dappertutto), la cosa migliore da fare se vuoi convergenza totale sembra essere togliere alla variabile la possibilità di "scappare" verso [tex]$+\infty$[/tex]; ciò si fa semplicemente facendo variare [tex]$x$[/tex] in qualche insieme limitato superiormente [tex]$X\subseteq \mathbb{R}$[/tex].
Ogni insieme limitato superiormente [tex]$X$[/tex] è contenuto in qualche intervallo [tex]$]-\infty ,a]$[/tex], quindi basta capire cosa succede in tali intervalli per capire cosa accade nel caso generale.
Vista la monotonia e la continuità di [tex]$f_n$[/tex] si ha:
[tex]$\sup_{]-\infty ,a]} |f_n| =\sup_{]-\infty ,a]} f_n =\lim_{x\to a^-} f_n(x)=f_n(a)=\frac{e^a}{n(n+e^a)}$[/tex]
e la serie numerica [tex]\sum_n \frac{e^a}{n(n+e^a)}[/tex] converge (perchè asintoticamente equivalente ad una serie armonica generalizzata d'esponente [tex]$2$[/tex]).
Ne viene che [tex]\sum f_n[/tex] è totalmente convergente in ogni intervallo del tipo [tex]$]-\infty ,a]$[/tex]; ergo essa converge totalmente (e quindi assolutamente ed uniformemente) in ogni insieme [tex]$X\subseteq \mathbb{R}$[/tex] limitato superiormente.
La convergenza, invece, è solo puntuale se l'insieme [tex]$X$[/tex] non è limitato superiormente.
Grazie gugo, molto gentile da parte tua spiegare i vari passaggi, adesso ho capito. 
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