Serie
Salve ragazzi, dovrei risolvere questo esercizio:
Determinare, al variare di $ x in RR $, il carattere della serie
$ sum_(n = 1)^(n = +infty) (x-1)^n/x^(2n) $
Innanzitutto, posto $ a_n:=(x-1)^n/x^(2n) $, ho riscritto la successione in questo modo:
$ a_n:=((x-1)/x^2)^n$
Successivamente ho pensato di applicare il criterio della radice ottenendo quindi $ lim_(n -> +infty) root(n)(((x-1)/x^2)^n) = lim_(n -> +infty) |((x-1)/x^2)| $ che però non porta a nessun risultato visto che dal limite scompare la variabile fondamentale per il calcolo, ovvero $n$.
Ho anche pensato di applicare il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> +infty) ((x-1)/x^2)^(n+1)*(x^2/(x-1))^n = lim_(n -> +infty) [((x-1)^n*(x-1))/(x^(2n)*x^2)]*[x^(2n)/(x-1)^n]= lim_(n -> +infty) (x-1)/x^2 $
ma, più o meno, siamo allo stesso punto.
Determinare, al variare di $ x in RR $, il carattere della serie
$ sum_(n = 1)^(n = +infty) (x-1)^n/x^(2n) $
Innanzitutto, posto $ a_n:=(x-1)^n/x^(2n) $, ho riscritto la successione in questo modo:
$ a_n:=((x-1)/x^2)^n$
Successivamente ho pensato di applicare il criterio della radice ottenendo quindi $ lim_(n -> +infty) root(n)(((x-1)/x^2)^n) = lim_(n -> +infty) |((x-1)/x^2)| $ che però non porta a nessun risultato visto che dal limite scompare la variabile fondamentale per il calcolo, ovvero $n$.
Ho anche pensato di applicare il criterio del rapporto:
$ lim_(n -> +infty) ((x-1)/x^2)^(n+1)*(x^2/(x-1))^n = lim_(n -> +infty) [((x-1)^n*(x-1))/(x^(2n)*x^2)]*[x^(2n)/(x-1)^n]= lim_(n -> +infty) (x-1)/x^2 $
ma, più o meno, siamo allo stesso punto.
Risposte
Scusa eh, ma quella non è una serie geometrica?
E poi che significa che non porta a nessun risultato perchè n scompare? E che t'importa di n?
Cioè, voglio dire... $lim_{n->oo} f(x) = f(x)$ quindi il tuo limite vale proprio $|(x-1)/x^2|$ continua col criterio della radice! Ora devi fare le dovute considerazioni del caso su questo risultato!
Se ancora non hai chiaro cosa fare, riguarda un pò le considerazioni che il tuo prof avrà fatto sulle serie geometriche.
E poi che significa che non porta a nessun risultato perchè n scompare? E che t'importa di n?
Cioè, voglio dire... $lim_{n->oo} f(x) = f(x)$ quindi il tuo limite vale proprio $|(x-1)/x^2|$ continua col criterio della radice! Ora devi fare le dovute considerazioni del caso su questo risultato!
Se ancora non hai chiaro cosa fare, riguarda un pò le considerazioni che il tuo prof avrà fatto sulle serie geometriche.
Ho tralasciato un pezzo dell'esercizio che avevo comunque svolto dopo aver applicato il criterio della radice, ovvero:
$|(x-1)/x^2|<1$ il che implica che la serie converge (trattandosi appunto di una geometrica)
e
$|(x-1)/x^2|>1$ che implica che la serie diverge.
Ho ovviamente svolto i due sistemi, ma non riesco a capire cosa ho sbagliato.
$|(x-1)/x^2|<1$ il che implica che la serie converge (trattandosi appunto di una geometrica)
e
$|(x-1)/x^2|>1$ che implica che la serie diverge.
Ho ovviamente svolto i due sistemi, ma non riesco a capire cosa ho sbagliato.
@pater quella è una serie geometrica, guardala bene.
Converge dove $|(x-1)/x^2| <1$ e ha per somma $-1+1/((1-((x-1)/x^2)))=-1+x^2/(x^2-x+1)=(x-1)/(x^2-x+1)$ $x!=0$
Converge dove $|(x-1)/x^2| <1$ e ha per somma $-1+1/((1-((x-1)/x^2)))=-1+x^2/(x^2-x+1)=(x-1)/(x^2-x+1)$ $x!=0$
"regim":
@pater quella è una serie geometrica, guardala bene.
E' quello che ho detto prima
@ nicolestyle: Posta i risultati, il procedimento è giusto!
Ho visto che ci eri arrivato lo stesso.
Scusate se mi intrometto, ma la serie geometrica non era della forma
[tex]q^n[/tex]?
Perchè:
[tex]\frac{x-1}{x^2}[/tex] è una serie geometrica?
[tex]q^n[/tex]?
Perchè:
[tex]\frac{x-1}{x^2}[/tex] è una serie geometrica?
Perchè il fatto che l'argomento di una serie geometrica sia espresso da una funzione, non ne inficia la natura, che rimane quella di una serie geometrica la cui somma però terrà conto di questo e qundi sarà $1/(1-f(x))$, laddove la funzione è definita e inoltre $|f(x)|<1$.
Le soluzioni che avevo trovato erano le seguenti:
1^ Sistema:
$ { ( (x-1)/x^2<-1 ),( (x-1)/x^2>1 ):} $
Le soluzioni che ho trovato per questo sistema sono: $(1-root()(5))/2
.
2^ Sistema:
$ { ( (x-1)/x^2> -1 ),( (x-1)/x^2<1 ):} $
Le soluzioni che ho trovato per questo sistema sono: $x<(1-root()(5))/2 uu x>(1+root()(5))/2$ (prima disequazione) (con $x!=0$), mentre la seconda non è mai verificata. Stesso dubbio di prima quindi.
Noto però che le soluzioni trovate per la prima disequazione del primo sistema non vanno bene se sostituite. Penso di aver sbagliato qualche banalità.
1^ Sistema:
$ { ( (x-1)/x^2<-1 ),( (x-1)/x^2>1 ):} $
Le soluzioni che ho trovato per questo sistema sono: $(1-root()(5))/2
.2^ Sistema:
$ { ( (x-1)/x^2> -1 ),( (x-1)/x^2<1 ):} $
Le soluzioni che ho trovato per questo sistema sono: $x<(1-root()(5))/2 uu x>(1+root()(5))/2$ (prima disequazione) (con $x!=0$), mentre la seconda non è mai verificata. Stesso dubbio di prima quindi.
Noto però che le soluzioni trovate per la prima disequazione del primo sistema non vanno bene se sostituite. Penso di aver sbagliato qualche banalità.
Se solo un delle eq di un sistema non è verificata, allora tutto il sistema non può essere verificato!
Che poi pensaci: come può un'espressione essere contemporaneamente minore di -1 e maggiore di 1?!
Da dove esce fuori quel sistema?
Ti basta studiare la convergenza che è più semplice da studiare!
$ |(x-1)/x^2| < 1 $ ergo $ -1 < (x-1)/x^2 < 1 $
1)
$ (x-1)/x^2 < 1 \to x-1 < x^2 \to x^2 -x+1 > 0$
2)
$ -1 < (x-1)/x^2 \to -x^2 < x-1 \to x^2 + x -1 > 0$
Trovati le soluzioni e mettile a sistema. Se una delle due non è mai verificata, allora la serie non converge mai.
Che poi pensaci: come può un'espressione essere contemporaneamente minore di -1 e maggiore di 1?!
Da dove esce fuori quel sistema?
Ti basta studiare la convergenza che è più semplice da studiare!
$ |(x-1)/x^2| < 1 $ ergo $ -1 < (x-1)/x^2 < 1 $
1)
$ (x-1)/x^2 < 1 \to x-1 < x^2 \to x^2 -x+1 > 0$
2)
$ -1 < (x-1)/x^2 \to -x^2 < x-1 \to x^2 + x -1 > 0$
Trovati le soluzioni e mettile a sistema. Se una delle due non è mai verificata, allora la serie non converge mai.
PS: stai attento a distinguere i casi "non è mai verificata" dagli "è sempre verificata"
Hai perfettamente ragione, quando stai facendo un esame spesso e volentieri sono le cose più banali a crearti difficoltà purtroppo. Ad ogni modo ho capito dove ho sbagliato, grazie 
.
.
Se un'equazione del sistema è sempre verificata, le soluzioni del sistema dipendono dalle altre equazioni. Se tra queste ne esiste almeno una che non è mai verificata, allora il sistema non è verificato. Dico bene?
si 
Un sistema richiede che tutte le sue equazioni soddisfino le condizioni.
Naturalmente questo spesso avviene solo per determinati valori della variabile indipendente. Ma, se una di queste equazioni non è mai verificata, allora conseguentemente non esisterà alcun valore di tale variabile per cui il sistema è verificato!
Un sistema richiede che tutte le sue equazioni soddisfino le condizioni.Naturalmente questo spesso avviene solo per determinati valori della variabile indipendente. Ma, se una di queste equazioni non è mai verificata, allora conseguentemente non esisterà alcun valore di tale variabile per cui il sistema è verificato!
Tornando al metodo di risoluzione grafico del sistema: se una delle equazioni non è verificata, non esisterà il famoso "tratto di linee continue" indicante le soluzioni del sistema.
O meglio, esisterà per alcune equazioni.
Tuttavia per un'equazione il tratto sarà solo tratteggiato. Ergo nessuna soluzione
Tuttavia per un'equazione il tratto sarà solo tratteggiato. Ergo nessuna soluzione
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