Serie...
Ho questa serie:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(2^nlog(1+1/(e^n)))/(n^2(1-cos(1/n)))$
questo tipo di serie sono un po' strane per me
allora per prima cosa posso considerare $log(1+1/(e^n))\sim1/(e^n)$... giusto?
poi come si procede con il denominatore? grazie mille a coloro che risponderanno
$\sum_(n=1)^(+\infty)(2^nlog(1+1/(e^n)))/(n^2(1-cos(1/n)))$
questo tipo di serie sono un po' strane per me
allora per prima cosa posso considerare $log(1+1/(e^n))\sim1/(e^n)$... giusto?
poi come si procede con il denominatore? grazie mille a coloro che risponderanno
Risposte
Esatto, e poi hai anche che $1-cos(1/n) \approx 1/(2n^2)$, il che ti torna molto utile!
ok quindi dovrebbe essere:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(2^nlog(1+1/(e^n)))/(n^2(1-cos(1/n)))\approx\sum_(n=1)^(+\infty)(2^n*1/(e^n))/(n^2*1/(2n^2))=2\sum_(n=1)^(+\infty)(2/e)^n$
che dovrebbe essere una serie geometrica con ragione $-1
ma andando più nel generale come bisogna comportarsi quando in una serie si incontra il seno o il coseno?
allora se capita:
$sen(1/n)$ o $cos(1/n)$
posso applicare l'asintoticità dato che l'argomento è infinitesimo
se invece incontro:
$sen(n)$ o $cos(n)$
cosa devo fare? grazie ancora
$\sum_(n=1)^(+\infty)(2^nlog(1+1/(e^n)))/(n^2(1-cos(1/n)))\approx\sum_(n=1)^(+\infty)(2^n*1/(e^n))/(n^2*1/(2n^2))=2\sum_(n=1)^(+\infty)(2/e)^n$
che dovrebbe essere una serie geometrica con ragione $-1
ma andando più nel generale come bisogna comportarsi quando in una serie si incontra il seno o il coseno?
allora se capita:
$sen(1/n)$ o $cos(1/n)$
posso applicare l'asintoticità dato che l'argomento è infinitesimo
se invece incontro:
$sen(n)$ o $cos(n)$
cosa devo fare? grazie ancora
Si, se l'argomento è infinitesimo si. Nel secondo caso i limiti non sono determinati, però sono limitati, quindi spesso puoi maggiorare facilmente le serie che li contengono.
Ricorda che $cos(1/n)$ tende ad 1 ( non si sa mai.. xD )
Ricorda che $cos(1/n)$ tende ad 1 ( non si sa mai.. xD )
ok allora ad esempio ho questa serie:
$\sum_(n=1)^(+\infty)|sen(n)+cos(n)|/(n^3)$
come devo agire? ti ringrazio per l'attenzione
$\sum_(n=1)^(+\infty)|sen(n)+cos(n)|/(n^3)$
come devo agire? ti ringrazio per l'attenzione
"TheBestNapoli":
ok allora ad esempio ho questa serie:
$\sum_(n=1)^(+\infty)|sen(n)+cos(n)|/(n^3)$
come devo agire? ti ringrazio per l'attenzione
Procedi per maggiorazione. Dato che sia il seno che il coseno sono limitate, hai che:
$\sum_(n=1)^(+\infty)|sen(n)+cos(n)|/(n^3) <= \sum_(n=1)^(+\infty) |2|/n^3$
E dato che la seconda converge... converge anche la prima.
wooow grazie!!! ora ho capito come devo comportarmi quando mi trovo davanti queste serie ...
ora mi rimane da studiare bene solo le serie alternate... beh dalla teoria già so che tramite il criterio di Leibniz se una successione a segni alterni è infinitesima e decrescente allora è convergente... se la serie è:
$sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^na_n$
per quanto riguarda il fatto che sia infinitesima basta calcolare il $lim_(n->+\infty)a_n$ che deve essere $=0$
mentre per la decrescenza $a_n>a_(n+1)$
però a volte incontro difficoltà nella verifica della decrescenza della successione (sarò imbranato?)... mentre nella risoluzione la danno per scontata...
ecco un esempio:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n(2^n+n)/(3^n+n^2)$
il limite:
$lim_(n->+\infty)(2^n+n)/(3^n+n^2) = lim_(n->+\infty)(2/3)^n*(1+n/(2^n))/(1+(n^2)/(3^n)) = lim_(n->+\infty)(2/3)^n*1=0$
per la decrescenza come procedo? forse è banalissimo ma in questo momento sto un po'... fuori con la testa
...ora mi rimane da studiare bene solo le serie alternate... beh dalla teoria già so che tramite il criterio di Leibniz se una successione a segni alterni è infinitesima e decrescente allora è convergente... se la serie è:
$sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^na_n$
per quanto riguarda il fatto che sia infinitesima basta calcolare il $lim_(n->+\infty)a_n$ che deve essere $=0$
mentre per la decrescenza $a_n>a_(n+1)$
però a volte incontro difficoltà nella verifica della decrescenza della successione (sarò imbranato?
)... mentre nella risoluzione la danno per scontata...ecco un esempio:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n(2^n+n)/(3^n+n^2)$
il limite:
$lim_(n->+\infty)(2^n+n)/(3^n+n^2) = lim_(n->+\infty)(2/3)^n*(1+n/(2^n))/(1+(n^2)/(3^n)) = lim_(n->+\infty)(2/3)^n*1=0$
per la decrescenza come procedo? forse è banalissimo ma in questo momento sto un po'... fuori con la testa
Puoi anche provare inserendo dei termini ($1, 2, 3$), a meno di serie un poì più complesse dovresti trovare se decresce o meno.
Ricordati il criterio della coda, cioè anche se nei primi tot termini non è decrescente, l'importante è che lo sia ad infinito
Ricordati il criterio della coda, cioè anche se nei primi tot termini non è decrescente, l'importante è che lo sia ad infinito
ok ho provato a sostituire alla successione:
$a_n=(2^n+n)/(3^n+n^2)$
i valori $1,2,3$ e dovrebbe essere decrescente, infatti:
$a_1=3/4=0,75$
$a_2=6/13=0,46$
$a_3=11/36=0,30$
da cui $a_n>a_(n+1)$
però qui si tratta di un caso abbastanza semplice... in generale come posso fare per verificare la decrescenza?
un altro modo può essere il considerare la funzione con $x$ al posto di $n$ e verificare se la derivata prima è negativa nell'intervallo $[1,+\infty[???
$a_n=(2^n+n)/(3^n+n^2)$
i valori $1,2,3$ e dovrebbe essere decrescente, infatti:
$a_1=3/4=0,75$
$a_2=6/13=0,46$
$a_3=11/36=0,30$
da cui $a_n>a_(n+1)$
però qui si tratta di un caso abbastanza semplice... in generale come posso fare per verificare la decrescenza?
un altro modo può essere il considerare la funzione con $x$ al posto di $n$ e verificare se la derivata prima è negativa nell'intervallo $[1,+\infty[???
Con le derivate è un metodo valido infatti.
L'importante è scegliere quello più semplice
L'importante è scegliere quello più semplice
ok quindi posso verificare la decrescenza della successione $a_n$:
1) sostituendo i primi valori $1,2,3...$ (per $a_n$ abbastanza semplice)
2) verificare che $a_n>a_(n+1)$
3) verificare la negatività della derivata prima in $[1,+\infty[$
ma se ad esempio ho:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n*n^3(1-cos(1/(n^2)))$
come verifico la decrescenza???
PS. avevo pensato di risolvere la serie con la convergenza assoluta:
$\sum_(n=1)^(+\infty)|(-1)^n*n^3(1-cos(1/(n^2)))|=\sum_(n=1)^(+\infty)n^3(1-cos(1/(n^2)))\approx\sum_(n=1)^(+\infty)n^3*1/(2n^4)=1/2\sum_(n=1)^(+\infty)1/n$
che essendo la serie armonica diverge, quindi dovrebbe divergere anche la serie iniziale...è corretto questo ragionamento? e riguardo la decrescenza?
grazie ancora
1) sostituendo i primi valori $1,2,3...$ (per $a_n$ abbastanza semplice)
2) verificare che $a_n>a_(n+1)$
3) verificare la negatività della derivata prima in $[1,+\infty[$
ma se ad esempio ho:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n*n^3(1-cos(1/(n^2)))$
come verifico la decrescenza???
PS. avevo pensato di risolvere la serie con la convergenza assoluta:
$\sum_(n=1)^(+\infty)|(-1)^n*n^3(1-cos(1/(n^2)))|=\sum_(n=1)^(+\infty)n^3(1-cos(1/(n^2)))\approx\sum_(n=1)^(+\infty)n^3*1/(2n^4)=1/2\sum_(n=1)^(+\infty)1/n$
che essendo la serie armonica diverge, quindi dovrebbe divergere anche la serie iniziale...è corretto questo ragionamento? e riguardo la decrescenza?
grazie ancora
Si, come consigliava Pater infatti.
$1/n$ è decrescente, semplicemente perchè reciproco di una funzione crescente
$1/n$ è decrescente, semplicemente perchè reciproco di una funzione crescente
Interessante il criterio della coda, nel corso di analisi I non me l'avevano spiegato proprio così, diciamo che appena vedevo una termine generale che è decrescente solo dopo i primi J termini... chiudevo un occhio e facevo finta che era sempre decrescente ahaha
Comunque TheBestNapoli, il fatto che la serie dei valori assoluti diverge non ti da alcuna informazione sulla serie di partenza... Considera che la serie dei valori assoluti è una MAGGIORANTE della serie iniziale, ed in quanto tale ti può tornare utile solo nel caso in cui converge.
Sperando di non dire una cavolata, dovresti avere:
$sum (-1)^n n^3 ( 1-cos(1/n^2) ) \approx 1/2 sum (-1)^n 1/n$
Ora, ho fatto quella premessa poco rassicurante solo perchè non ho mai applicato il principio di equivalenza asintotica alle serie a segno alterno, ma credo che non ci siano problemi nell'utilizzarlo anche qui!
Se è vero quello che ho scritto sopra, sapendo che $sum (-1)^n/n$ converge, allora converge anche la serie di partenza.
( Il fatto che quest'ultima serie converge lo vedi applicando leibniz, infatti il tuo termine generale è decrescente ed infinitesimo, come suggerito da faximusy )
ahahaComunque TheBestNapoli, il fatto che la serie dei valori assoluti diverge non ti da alcuna informazione sulla serie di partenza... Considera che la serie dei valori assoluti è una MAGGIORANTE della serie iniziale, ed in quanto tale ti può tornare utile solo nel caso in cui converge.
Sperando di non dire una cavolata, dovresti avere:
$sum (-1)^n n^3 ( 1-cos(1/n^2) ) \approx 1/2 sum (-1)^n 1/n$
Ora, ho fatto quella premessa poco rassicurante solo perchè non ho mai applicato il principio di equivalenza asintotica alle serie a segno alterno, ma credo che non ci siano problemi nell'utilizzarlo anche qui!
Se è vero quello che ho scritto sopra, sapendo che $sum (-1)^n/n$ converge, allora converge anche la serie di partenza.
( Il fatto che quest'ultima serie converge lo vedi applicando leibniz, infatti il tuo termine generale è decrescente ed infinitesimo, come suggerito da faximusy )
allora ho capito che studiando la convergenza assoluta e verificando che la serie diverge non abbiamo nessuna informazione sulla convergenza o divergenza della serie iniziale...
ma se pater46 ha fatto un passagio lecito
allora l'asintoticità che ho usato nella serie dei valori assoluti va bene anche per la serie alternata?
o bisogna verificare per forza la decrescenza dalla serie iniziale?
$\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n*n^3(1-cos(1/(n^2)))$
non credo si possa verificare sostituendo i primi valori $1,2,3...$ e neanche verificando che $a_n>a_(n+1)$
la derivata dovrebbe essere $3n^2(1-cos(1/(n^2)))-2sen(1/(n^2))$... ma come posso studiarla per verificare che è negativa in $[1,+\infty[$?
grazie a tutti
ma se pater46 ha fatto un passagio lecito
allora l'asintoticità che ho usato nella serie dei valori assoluti va bene anche per la serie alternata?o bisogna verificare per forza la decrescenza dalla serie iniziale?
$\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n*n^3(1-cos(1/(n^2)))$
non credo si possa verificare sostituendo i primi valori $1,2,3...$ e neanche verificando che $a_n>a_(n+1)$
la derivata dovrebbe essere $3n^2(1-cos(1/(n^2)))-2sen(1/(n^2))$... ma come posso studiarla per verificare che è negativa in $[1,+\infty[$?
grazie a tutti
Per applicare l'eq asintotica non hai bisogno di studiarti la decrescenza.
Quella serie sembra fatta apposta per usare l'eq asintotica, hai il termine $(1 - cos(1/n^2) )$ bello in mostra XD
Quella serie sembra fatta apposta per usare l'eq asintotica, hai il termine $(1 - cos(1/n^2) )$ bello in mostra XD
Sperando di non dire una cavolata, dovresti avere:
$\sum(-1)^n n^3(1-cos(1/n^2))\approx1/2\sum(-1)^n1/n$
Ora, ho fatto quella premessa poco rassicurante solo perchè non ho mai applicato il principio di equivalenza asintotica alle serie a segno alterno, ma credo che non ci siano problemi nell'utilizzarlo anche qui!
Se è vero quello che ho scritto sopra, sapendo che $\sum(-1)^n/n$ converge, allora converge anche la serie di partenza.
( Il fatto che quest'ultima serie converge lo vedi applicando leibniz, infatti il tuo termine generale è decrescente ed infinitesimo, come suggerito da faximusy )
beh si... se è lecito questo passaggio allora è inutile verificare la decrescenza della serie iniziale
ma se per caso non lo fosse?
"TheBestNapoli":Sperando di non dire una cavolata, dovresti avere:
$\sum(-1)^n n^3(1-cos(1/n^2))\approx1/2\sum(-1)^n1/n$
Ora, ho fatto quella premessa poco rassicurante solo perchè non ho mai applicato il principio di equivalenza asintotica alle serie a segno alterno, ma credo che non ci siano problemi nell'utilizzarlo anche qui!
Se è vero quello che ho scritto sopra, sapendo che $\sum(-1)^n/n$ converge, allora converge anche la serie di partenza.
( Il fatto che quest'ultima serie converge lo vedi applicando leibniz, infatti il tuo termine generale è decrescente ed infinitesimo, come suggerito da faximusy )
beh si... se è lecito questo passaggio allora è inutile verificare la decrescenza della serie iniziale
ma se per caso non lo fosse?
Non lo sarà neanche quella asintotica ovviamente
Però fai prima a calcolarla su quella asintotica, perchè risulta piu agevole di solito
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