Serie

[Lionel2]

Salve, non riesco a capire come il professore afferma che sia possibile dimostrare che:

$\sum_{k=1}^(N - 1) (n - i)*(n - i)$

dici che impone $n - i = n '$ e dunque

$\sum_{k=1}^(N-1) (n')^2$ $= (1/6) * (n - 1)*n(2n - 1)$

Non mi hanno mai in nessun esame spiegato come si fanno le serie, per cui ho pensato faccia questo:

$\sum_{k=1}^(N-1) (n')^2$ $= 1 + ... + (n)^2 + (n-1) ^ 2$ $= 1 + ... + n^2 + n^2 - 2n + 1 $

se posso pensare di ignorare tutti i termini da $1$ fino a $n$ con $n$ escluso

$ = n^2 + 2 n (n - 1) + 1$

non mi trovo con il suo risultato. Sono sicuro che sbaglio ma vorrei capire cosa e perchè e come si procede. Lo scopo di ciò è quella di valutare la complessità del metodo di gauss (calcolo numerico), per cui si ha che per n molto grande quella sommatoria darà:

$n^3 / 3$


Ringrazio tutti coloro che risponderanno.

[Steven11]

E' una somma notevole, come puoi vedere qua
http://it.wikipedia.org/wiki/Somma_dei_ ... i_naturali
Si può mostrare facilmente per induzione, ma non penso ti serva, per queste finalità.

Nella formula che leggi su wikipedia devi sostituire ad $n$, il termine $n-1$, e vedi che ti torna il risultato del prof.
Infatti la tua somma arriva ad $n-1$ e non fino a $n$.

Ti quadra tutto?
Ciao.

[Lionel2]

"Steven":E' una somma notevole, come puoi vedere qua
http://it.wikipedia.org/wiki/Somma_dei_ ... i_naturali
Si può mostrare facilmente per induzione, ma non penso ti serva, per queste finalità.

Nella formula che leggi su wikipedia devi sostituire ad $n$, il termine $n-1$, e vedi che ti torna il risultato del prof.
Infatti la tua somma arriva ad $n-1$ e non fino a $n$.

Ti quadra tutto?
Ciao.

Si ora tutti quadra. L'unica cosa che il professore ha dato anche un dimostrazione alternativa, e se non ti dispiace la posto, giusto per capire se ho capito qualcosa.

La sommatoria vista in precedenza è una sommatoria notevole ovvero del tipo:

$\sum_{k=1}^n k^alpha$

per valutarne l'andamento asintotico deve essere $n >> 1$. Allora servendosi dell'analisi integrale è possibile fornire una interpretazione geometrica della serie. Per $K = 1$ (e così anche per $K = 2$, $K = n$) è possibile identificare il valore della sommatoria come area del rettangolo. Fare la somma della serie significa calcolare l'area del rettangoloide come somma delle aree dei rettangoli.
Se se ne disegnala curva $K^alpha$ questa passa per il punti della serie $K=1, 2 ,...,n$, e in questo caso l'integrale della curva sottostima la serie ovvero:

$\sum_{k=1}^n k^alpha >= \int_{0}^{n} K^alpha dk$



Uploaded with ImageShack.us

E' possibile realizzare anche una sovrastima dell'integrale, e in questo caso l'area della curva $K^alpha$ si trova tutta al di sopra del rettangoloide e dunque la sommatoria è maggiorata dall'integrale


$\int_{1}^{n} K^alpha dk >= \sum_{k=1}^n k^alpha$



Uploaded with ImageShack.us

Quindi in definitiva si ha:

$\int_{1}^{n} K^alpha dk >= \sum_{k=1}^n k^alpha >= \int_{0}^{n} K^alpha dk$

I due integrali hanno lo stesso contributo asintotico per $n -> oo$, quindi anche la sommatoria ha lo stesso contributo del tipo:

$(n^(alpha+1))/(alpha+1)$

considerando $alpha = 2$ si ottiene proprio che $= (n^3)/3$

La parte finale della dimostrazione l'ho dovuta fare io perché il professore non l'ha fornita tutta. Può andare? E' scritta in modo chiaro? Anche da un punto di vista dell'italiano? Una cosa che non mi torna è che nella mia dimostrazione ho scelto $alpha = 2$ in maniera del tutto arbitraria o esiste una spiegazione anche per questo?

Grazie.