Serie
ciao a tutti ho dei problemi con questa serie $ sum_(n = 2)^(n = oo )(-1)^n(1/((n^2)+2(-1)^n*n)) $
mi sembra che sia a segni alterni, e per questo ho provato la convergenza assoluta distribuendo il modulo tra $ (-1)^n $ , numeratore ( cioè 1) e denominatore. Poi al denominatore ho provato ad applicare la disuguaglianza triangolare tra le somme per trovare un modo in cui maggiorare la serie, ma poi mi sono accorto che la maggiorazione ( > ) non mi porta a dare nessuna considerazione sulla serie di partenza.
A questo punto ho provato ad applicare Leibniz ma non capisco come provare la decrescenza perchè il segno varia tra n pari e dispari... qualche aiuto ?
Poi ho un altro problema con il termine n-esimo di una serie : $ (k!^3)/(7^(k^2)) $ non riesco a verificare la condizione necessaria n $ rarr oo $ .Qualcuno mi fa vedere i passaggi ? grazie
mi sembra che sia a segni alterni, e per questo ho provato la convergenza assoluta distribuendo il modulo tra $ (-1)^n $ , numeratore ( cioè 1) e denominatore. Poi al denominatore ho provato ad applicare la disuguaglianza triangolare tra le somme per trovare un modo in cui maggiorare la serie, ma poi mi sono accorto che la maggiorazione ( > ) non mi porta a dare nessuna considerazione sulla serie di partenza.
A questo punto ho provato ad applicare Leibniz ma non capisco come provare la decrescenza perchè il segno varia tra n pari e dispari... qualche aiuto ?
Poi ho un altro problema con il termine n-esimo di una serie : $ (k!^3)/(7^(k^2)) $ non riesco a verificare la condizione necessaria n $ rarr oo $ .Qualcuno mi fa vedere i passaggi ? grazie
Risposte
Io a occhio direi che la serie dei valori assoluti è asintotica a $\sum1/n^2$ che converge
io applicando il modulo e distribuendolo sono arrivato qui
$ 1/|n^2+ 2(-1^n)*n| >= 1/(|n^2|+|2(-1^n)|*|n|) $
ora al secondo membro ottengo $ 1/(n^2+2*n) $ che è asintotico a $ 1/(n^2) $ e quindi converge. Ma per il segno $ >= $ no ho alcuna informazione sulla serie dei valori assoluti . non so forse ho sbagliato, che ne pensi ?
$ 1/|n^2+ 2(-1^n)*n| >= 1/(|n^2|+|2(-1^n)|*|n|) $
ora al secondo membro ottengo $ 1/(n^2+2*n) $ che è asintotico a $ 1/(n^2) $ e quindi converge. Ma per il segno $ >= $ no ho alcuna informazione sulla serie dei valori assoluti . non so forse ho sbagliato, che ne pensi ?
Invece della maggiorazione [tex]$|a+b|\leq |a|+|b|$[/tex] prova ad usare la minorazione [tex]$|a+b|\geq ||a|-|b||$[/tex]... 
mm ottimo : $ 1/|n^2+(2(-1)^n)*n| <= 1/|n^2 -2n| $
e poi sapendo che $ n^2 -2n > 0 $ definitivamente posso dire che $ 1/|n^2 -2n| $ $ = 1/(n^2 -2n ) $ da cui la serie converge.
E' giusto ?
e invece per la mia seconda domanda ?
e poi sapendo che $ n^2 -2n > 0 $ definitivamente posso dire che $ 1/|n^2 -2n| $ $ = 1/(n^2 -2n ) $ da cui la serie converge.
E' giusto ?
e invece per la mia seconda domanda ?
Per la prima serie, sì tutto ok.
Per la seconda, prova a usare l'approssimazione di Stirling per il fattoriale: [tex]$k!\sim \sqrt{2\pi \ k} \ \left( \frac{k}{e}\right)^k$[/tex].
Però, se devo tirare a indovinare, penso che [tex]$7^{k^2}$[/tex] vinca di gran lunga sul numeratore... Facci sapere un po' come va a finire.
Per la seconda, prova a usare l'approssimazione di Stirling per il fattoriale: [tex]$k!\sim \sqrt{2\pi \ k} \ \left( \frac{k}{e}\right)^k$[/tex].
Però, se devo tirare a indovinare, penso che [tex]$7^{k^2}$[/tex] vinca di gran lunga sul numeratore... Facci sapere un po' come va a finire.
ok dovrebbe essere così :
$ lim_(k -> oo ) ((k^(3k))*(2pik)^(3/2))/(e^(3k)*7^(k^2) $
poi tutto sta a considerare $ 7^(k^2) = (7^k)^k $ e con gli ordini di infinitesimi il limite viene 0
$ lim_(k -> oo ) ((k^(3k))*(2pik)^(3/2))/(e^(3k)*7^(k^2) $
poi tutto sta a considerare $ 7^(k^2) = (7^k)^k $ e con gli ordini di infinitesimi il limite viene 0
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