Serie

[miuemia]

la serie $\sum_{n=1}^{oo}\frac{n^{n/2}}{(2n)!}$ non è divergente? in quanto il termine generale non è infinitesimo?

[deserto1]

Ti confermo la convergenza della serie in base al Criterio del Rapporto

[miuemia]

ma scusa il terrmine generale non è infinitesimo.

[Thomas16]

se funzia il criterio del rapporto ti dovrebbe dire anche che il termine è infinitesimo...

in ogni caso mieumia puoi provare anche a dimostrarlo in modo diretto.... che so usa Stirling...

per n=5 il termine viene

0,0000000000000411032

piccolino eh? io non ci punterei molto sulla sua crescita da grande ... ma chissà mai dire mai

[gugo82]

Potrebbe essere d'aiuto scrivere meglio quel fattoriale.

Ricordo che:

$(2n)! =(2n)!!*(2n-1)!! \quad$ ove $\quad (2n)!! =2n*(2n-2)*(2n-4)*\ldots *4*2 \quad$ e $\quad (2n-1)!! =(2n-1)*(2n-3)*\ldots*3*1$;

però è $(2n)!! =2^n*n!$ (si vede dalla definizione), mentre avendosi:

$2n-1>2n-2,\ 2n-3>2n-4,\ldots 5>4,\ 3>2,\ 1>=1$

risulta $(2n-1)!!>(2n-2)!! =[2(n-1)]!! =2^(n-1)*(n-1)!$; da ciò segue che:

$(2n)! =(2n)!!*(2n-1)!! >1/2 4^n n!*(n-1)!$

quindi:

(*) $\quad n^(n/2)/((2n)!)<2 n^(n/2)/(4^n*n!*(n-1)!)$.

Il resto in spoiler, per non rovinarti i due conti che rimangono (con l'approssimazione suggerita dal sempre buon Thomas).

Usando Stirling trovi:

(**) $\quad n^(n/2)\sim sqrt(("e"^n*n!)/sqrt(2pi n))$

che, sostituita al secondo membro di (*), ti consente di dire che esso è infinitesimo.
Pertanto anche $n^(n/2)/((2n)!) \to 0$ (tra l'altro mooolto velocemente!!!).

[miuemia]

ahhhh... grazie a tutti davvero! io pensavo di applicare il fatto che $n^n$ cresce più velocemente di $n!$ ma evidentemente in questo caso non funziona.
grazie a tutti.