Serie (52989)

[Newton_1372]

[math]\sum_{i=1}^\infty \frac{x^n+\sqrt{n}}{n^2+x^{2n}}[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Tentata risoluzione. Per vedere i valori in cui la serie converge, l'ho maggiorata con la serie seguente (tralascio per brevità gli estremi di somma)

[math] \sum\frac{x^n+\sqrt{n}}{x^{2n}}=\sum \underbrace{\left(\frac{1}{x}\right)^n}_\alpha+\underbrace{\frac{\sqrt{n}}{x^{2n}}}_\beta[/math]

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Ora, si ha che

[math]\alpha[/math]

è una serie geometrica di ragione 1/x, e converge se [math]-1

[ciampax]

Non sono tanto convinto della tuamaggiorazione (tra l'altro il termine

[math]n^2[/math]

a denominatore dove è finito?). Comunque, io ragionerei separando le x positive da quelle negative.

[math]x\geq 0[/math]

. Separiamo questa cosa in 4 casi distiniti

[math]a)\ x>1,\qquad b)\ x=1,\qquad c)\ 01 è sicurmente sempre minore di 1. Quindi la serie converge per il criterio del rapporto.

Nel caso c) invece possiamo scrivere

[math]x^n+\sqrt{n}n^2[/math]

e quindi il termine generale è

[math]a_n