Serie
Volevo chiedervi se avendo una serie a termini postivi:
1)La serie o converge o diverge e non è mai indeterminata.
2)E trovo la serie di una sottosuccesione che converge (diverge), posso affermare che la serie generale converge (diverge)?
1)La serie o converge o diverge e non è mai indeterminata.
2)E trovo la serie di una sottosuccesione che converge (diverge), posso affermare che la serie generale converge (diverge)?
Risposte
1) si
2)Somme di 1/k^2 converge ma Somme di 1/n diverge (se ho capito la tua domanda), mentre se trovi una "sottoserie divergente" allora anche la serie diverge.
2)Somme di 1/k^2 converge ma Somme di 1/n diverge (se ho capito la tua domanda), mentre se trovi una "sottoserie divergente" allora anche la serie diverge.
Mi sa che la domanda originale era:
supponiamo di avere una serie a termini positivi che non sia indeterminata e che sia in grado di trovare una sottosuccessione che converge (diverge), allora è vero che la serie originale converge (diverge)?
supponiamo di avere una serie a termini positivi che non sia indeterminata e che sia in grado di trovare una sottosuccessione che converge (diverge), allora è vero che la serie originale converge (diverge)?
dici che una serie a termini positivi può essere indeterminata?
Ovviamente no... ma chi lo sa cosa passava per la testa a chi ha fatto la domanda?? 
ottima risposta
Anche perché, holmes, obbiettivamente, a te, dopo esserti letto la definizione di serie, verrebbe mai da chiedere se una serie a termini positivi possa essere indeterminata? Preferisco pensare che gli sia venuto in mente un qualche strano teorema in cui deve dare quella roba come ipotesi (per quanto la cosa sarebbe ancora peggio.... forse!)
la domanda era stupida lo so, ma era solo per conferma tutto qua (era impossibile che fosse indetrminata dato che non ci sono termini positivi e negativi contemporaneamente). ieri avevo fatto questa domanda e non i avevano risposto cosi ho chiesto conferma a voi. non era nessun teorema e forse adesso mi sono accorto che non dovevo fre questa domanda dato che conoscevo gia la risposta, ma era solo per conferma dato chi ho appena iniziato da poco a studiarle grazie ciao
La seconda domanda ha risposta positiva se si parla della successione delle somme parziali, cioe'
Se $a_n\geq0$ e $S_n=\sum_{k=0}^n a_k$ allora $S_n$ converge/diverge se e solo se esiste una $(n_h)$ tale che $S_{n_h}$
converge / diverge.
Puo' darsi che l'autore della domanda avesse "orecchiato" questa affermazione.
Se $a_n\geq0$ e $S_n=\sum_{k=0}^n a_k$ allora $S_n$ converge/diverge se e solo se esiste una $(n_h)$ tale che $S_{n_h}$
converge / diverge.
Puo' darsi che l'autore della domanda avesse "orecchiato" questa affermazione.
chairisco :
la prima domanda era solo di conferma per la domanda numero due. io avevo pensato : dato che una serie non puo essere indeterminata, se trovo una "sottoserie" che converge(diverge) posso affermare che la serie generale converge(diverge)?
la prima domanda era solo di conferma per la domanda numero due. io avevo pensato : dato che una serie non puo essere indeterminata, se trovo una "sottoserie" che converge(diverge) posso affermare che la serie generale converge(diverge)?
"francescodd":
chairisco :
la prima domanda era solo di conferma per la domanda numero due. io avevo pensato : dato che una serie non puo essere indeterminata, se trovo una "sottoserie" che converge(diverge) posso affermare che la serie generale converge(diverge)?
Se per sottoserie di $\sum_n a_n$ intendi $\sum_h a_{n_h}$ la risposta e' negativa. Come ha detto holmes $\sum_n1/n$ diverge ma $\sum_n 1/n^2$ converge
(e $1/n^2$ e' un'estratta da $1/n$).
Il discorso che fai tu invece va nell'altra direzione: se so che una successione $S_n$ deve convergere o divergere e se conosco cosa fa una sottosuccessione $S_{n_h}$ allora
il comportamento di $S_n$ e' lo stesso di quello di $S_{n_n}$.
Pero' se $S_n=\sum_{k=1}^na_k$ non e' vero che $S_{n_k}=\sum_{k=1}^?a_{k_h}$ (potremmo dire che "la serie di un estratta non e' l'estratta della serie")
"ViciousGoblin":
Pero' se $S_n=\sum_{k=1}^na_k$ non e' vero che $S_{n_k}=\sum_{k=1}^?a_{k_h}$ (potremmo dire che "la serie di un estratta non e' l'estratta della serie")
vediamo se ho capito. sia
$S_n =\sum_{k=1}^N k^2$ una serie. una sottosuccessione di $S_n$ (per esempio $S_(2n)$) è $S_(2n)=\sum_{k=1}^(2N) k^2$ giusto?
il mo dubbio era proprio quello che aveva detto holmes. ho fatto confusione tra l' estratta di una serie e la serie di un ' estratta come ha detto vicious
"francescodd":
vediamo se ho capito. sia
$S_n =\sum_{k=1}^N k^2$ una serie. una sottosuccessione di $S_n$ (per esempio $S_(2n)$) è $S_(2n)=\sum_{k=1}^(2N) k^2$ giusto?
Esatto
"francescodd":
il mo dubbio era proprio quello che aveva detto holmes. ho fatto confusione tra l' estratta di una serie e la serie di un ' estratta come ha detto vicious
Non temere, non sei il primo ad avere avuto questo dubbio.
Nota peraltro che la "estratta di una serie" si puo' scrivere come $S_{n_h}=\sum_{k=1}^{n_h}a_k=(a_1+..a_{n_1})+(a_{n_1+1}+...+a_{n_2})+...+(a_{n_{h-1}+1}+..+a_{n_h})$;
quindi il fatto che abbia lo stesso carattere della serie di partenza implica che vale la "proprieta' associativa" per le serie (falsa in generale).
"ViciousGoblin":
[quote="francescodd"]
vediamo se ho capito. sia
$S_n =\sum_{k=1}^N k^2$ una serie. una sottosuccessione di $S_n$ (per esempio $S_(2n)$) è $S_(2n)=\sum_{k=1}^(2N) k^2$ giusto?
Esatto
"francescodd":
il mo dubbio era proprio quello che aveva detto holmes. ho fatto confusione tra l' estratta di una serie e la serie di un ' estratta come ha detto vicious
Non temere, non sei il primo ad avere avuto questo dubbio.
Nota peraltro che la "estratta di una serie" si puo' scrivere come $S_{n_h}=\sum_{k=1}^{n_h}a_k=(a_1+..a_{n_1})+(a_{n_1+1}+...+a_{n_2})+...+(a_{n_{h-1}+1}+..+a_{n_h})$;
quindi il fatto che abbia lo stesso carattere della serie di partenza implica che vale la "proprieta' associativa" per le serie (falsa in generale).[/quote]
ti ringrazio vicious
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