Serie

[dan89-votailprof]

$\sum_{n=1}^\infty (4^n+(-3)^(n+1))*[(1+n^2)/(1+2n^2)]

Qualche idea?

[dissonance]

@Cod: Prova a scrivere qualche idea, per quanto minima. Non fare come in questi altri post:
https://www.matematicamente.it/forum/post277369.html
https://www.matematicamente.it/forum/post269851.html

Dalle mie parti si dice: "la prima si perdona, la seconda si condona, la terza si bastona".

[neopeppe89]

proponi la tua e t aiuteremo per quanto possibile

[dan89-votailprof]

In realtà non ho in mente molto. E' negativa per n pari e positiva per n dispari, quindi pensavo di studiare la convergenza assoluta, visto che non è a termini positivi.

Da qui ho provato il criterio del rapporto ma non se ne esce fuori, e neanche con la radice...

[dissonance]

Ma hai provato a verificare la condizione necessaria per la convergenza? Mi sbaglierò, ma a occhio mi pare che il termine generale della serie sia divergente.

[gugo82]

Ma, dico io, ci sono delle tecniche standard che si applicano sempre, o no?
Forse alla tua università non si usano?

Ad esempio, che cosa costa andare a testare la condizione necessaria alla convergenza?
Si comincia sempre da lì... Come nel post omonimo, ma di tre mesi fa, che ha linkato dissonance.

[dan89-votailprof]

Il limite della seconda parentesi è 1/2, ma quello della prima? Mi sembra che non esiste *-*. Quindi quando non esiste si considera non soddisfatta la condizione necessaria?

Ma la condizione necessaria per la convergenza non si deve verificare solo quando la serie è a termini positivi?

[gugo82]

Il consiglio che ti ho dato tre mesi fa vale anche nel caso presente.

[dan89-votailprof]

Non riesco a vederci alcun limite notevole da applicare >.> E' la prima parentesi che mi turba *-*

[gugo82]

Metti in evidenza l'esponenziale "più divergente" e puoi concludere...

[dan89-votailprof]

$lim_(n-> infty)4^n+(-3)^(n+1)=lim_(n-> infty)3^(n+1)((4^n)/3^(n+1)+((-3)^(n+1))/3^(n+1))

Il primo termine della parentesi va a zero, il secondo è $(-1)^(n+1)$ per cui dopo il prodotto ritorno a $(-3)^(n+1)$ che comunque non ha limite. *-*

[clrscr]

Io farei così:
$lim_(n ->+oo) 4^n +(-3)^(n+1)= 4^n(1-3*(-3/4)^n)$.
Dunque, il primo termine diverge, mentre il secondo è comunque limitato.....da questo la divergenza della serie.

[gugo82]

Scusa Cod, ma tra $4^n$ e $3^(n+1)=3*3^n$ quale termine va più velocemente a $+oo$?

[dan89-votailprof]

Hai ragione sono stupido Mi ero lasciato ingannare dal (n+1)...

Un'ultimo dubbio che mi resta. La condizione necessaria per la convergenza si verifica in ogni caso o solo quando la serie è a termini positivi?

[gugo82]

Sempre.

[Gatto891]

"Cod":Hai ragione sono stupido Mi ero lasciato ingannare dal (n+1)...

Un'ultimo dubbio che mi resta. La condizione necessaria per la convergenza si verifica in ogni caso o solo quando la serie è a termini positivi?

La risposta te l'ha già data Gugo... ora però tu ci spieghi il perchè

(Ti aiuto ricordandoti che una successione è convergente (almeno in $RR$) se e solo se è di Cauchy, e che la serie non è altro che la successione delle somme parziali).