Serie

[Lale1]

Non riesco a risolvere questa serie:

studiare la convergenza di:

$\sum_{k=1}^(+infty) ((x^2)/(1+x))^n$

al variare del parametro x.
Detta, poi, g(x)=$\sum_{k=1}^(+infty) ((x^2)/(1+x))^n$ , calcolare g'(1)

Grazie mille per le eventuali risposte!

[Lale1]

Io avevo fatto delle considerazioni sulla convergenza a zero del termine n-esimo, e in particolare avevo detto che x deve essere minore di 1, altrimenti il limite sarebbe +infinito... Ma non riesco a continuare...Qualcuno può aiutarmi?

[dissonance]

Quando converge la serie geometrica?

[Lale1]

quando |x|<1..giusto? In quel caso la somma si calcola come 1/1-q.
Dove vuoi portarmi col ragionamento?

[dissonance]

E quando $|x|>=1$ la serie geometrica che fa? Non converge. La serie geometrica è fatta così: $sum_{n=0}^inftyx^n$. La tua serie è fatta così: $sum_{n=0}^infty((x^2)/(1+x))^n$. Quindi, qual'è la disequazione da risolvere, per stabilire quando converge la tua serie?

[Lale1]

Credo che dovrei confrontare le due serie trovando che se una sta sopra a una che diverge, diverge anch'essa, se invece sta sotto a una che converge, converge anch'essa. Quindi proverei per esempio a scrivere

$(x^2)/(1+x) > x$ per trovare quando diverge..
E' sbagliato?

[dissonance]

Non è sbagliato, ma hai la soluzione talmente sotto gli occhi che ti sta sfuggendo. Proviamo a cambiare simboli. Chiamiamo $y=x^2/(1+x)$. Quando converge la serie $sum_{n=0}^inftyy^n$? Se e solo se $|y|<1$. Ma $y=x^2/(1+x)$. Allora?

[Lale1]

Ah ok...devo fare il valore assoluto della funzione <1..ora dovremmo esserci.. Ma quindi se io lo faccio col confronto nel modo in cui ho fatto sopra, cosa trovo? La stessa cosa? Grazie mille per la pazienza, la disponibilità e la competenza!

[Lale1]

Ps. Mi sono dimenticata dell'ultimo punto del problema: come si calcola la derivata di g(x)=$\sum_{k=1}^+infty (x^2/(1+x))^n$ ? Il testo chiede di calcolarla in 1. Qual è la strategia più semplice?

[dissonance]

Allora, una cosa alla volta. Per controllare la convergenza della serie, non credo che si possa fare in altra maniera, e se si può è molto più complicato. Tieni presente una cosa. Quando applichi i criteri "standard" di convergenza delle serie a termini positivi (confronto, confronto al limite, radice, rapporto, Raabe, ecc...) quello che veramente stai facendo è confrontare con una serie nota, che è quasi sempre la serie geometrica. Qui hai già la serie geometrica, sei quindi nella situazione migliore possibile.

Aggiungo una cosa, per venire al secondo punto. La serie geometrica ha l'indiscusso vantaggio di una espressione comodissima della somma. La serie del tuo esercizio tu la vedi così, come somma infinita, ma in realtà quando $| x^2/(1+x) |<1$, la serie è $1/(1-(x^2/(1+x)))$. Basta maneggiare questa espressione e puoi farci quello che vuoi: integrali, derivate, ...

[Lale1]

Più chiaro di così non è possibile...grazie infinite e complimenti...

[dissonance]

Più chiaro di così non è possibile...grazie infinite e complimenti...

Veramente i complimenti li faccio io a te. [OT]Per me, come per chiunque provi a spiegare qualcosa, è un piacere avere a che fare con gente come te, che collabora. Mentre è assolutamente odioso trovarsi qualcuno che si pone come "fammi l'esercizio perché a me non va". [/OT]
Sono contento di esserti stato utile. Alla prossima!