Serie
Sto studiando le serie incontrando delle difficoltà.
Sapete darmi una mano riguardo questa:
$\sum_{n=1}^infty sqrt(n) log (1+ 1/sqrt(n^5+2))$
ho dedotto che $ (1+ 1/sqrt(n^5+2))$ tende a 0 ma nn riesco a capire come procedere correttamente.
Grazie.
Sapete darmi una mano riguardo questa:
$\sum_{n=1}^infty sqrt(n) log (1+ 1/sqrt(n^5+2))$
ho dedotto che $ (1+ 1/sqrt(n^5+2))$ tende a 0 ma nn riesco a capire come procedere correttamente.
Grazie.
Risposte
Ho dimenticato di dire che mi occore sapere se la serie è convergente o divergente
allora, con il primo sviluppo di maclaurin e semplificando opportunamente te ottieni che l'argomento della tua serie è asintotico a $1/(n^2)$ la quale converge..
Grazie mille, ma sono pò a digiuno, puoi darmi qualche altra informazione?
Ciao!
Senza scomodare McLaurin direi che puoi fare un confronto asintotico con $1/(n^2)$.
Ti risulta $lim_(n->+infty)((sqrt(n)log(1+1/(sqrt(n^5+2))))/(1/n^2))=lim_(n->+infty)((sqrt(n)log(1+1/(sqrt(n^5+2))))/(sqrt(n)/sqrt(n^5)))=$
che sfruttando il limite notevole per $x->o$ di $(log(1+x))/x$ diventa 1,e quindi asintoticamente sono uguali come comportamento,quindi converge.
Ovviamente quello che ha detto parme è del tutto equivalente.
Spero di esserti stato d'aiuto :P
Senza scomodare McLaurin direi che puoi fare un confronto asintotico con $1/(n^2)$.
Ti risulta $lim_(n->+infty)((sqrt(n)log(1+1/(sqrt(n^5+2))))/(1/n^2))=lim_(n->+infty)((sqrt(n)log(1+1/(sqrt(n^5+2))))/(sqrt(n)/sqrt(n^5)))=$
che sfruttando il limite notevole per $x->o$ di $(log(1+x))/x$ diventa 1,e quindi asintoticamente sono uguali come comportamento,quindi converge.
Ovviamente quello che ha detto parme è del tutto equivalente.
Spero di esserti stato d'aiuto :P
hihi..ormai MacLaurin lo uso ovunque! tra poco anche nella pasta!;)
Grazie, potete controllare quest'altra serie se è corretta:
$\sum_{n=3}^infty (sqrt(n)+log n)* log (1-2/n)$
$sqrt(n) + log n$ è asintoticamente uguale a $sqrt (n)$ che tende ad 1
invece per $log (1-2/n)$ sfruttando il limite per $x rarr 0$ di $log(1+x)$ riduo tutto a $sqrt(n) + 2/n$
mi sono avvicinato?
$\sum_{n=3}^infty (sqrt(n)+log n)* log (1-2/n)$
$sqrt(n) + log n$ è asintoticamente uguale a $sqrt (n)$ che tende ad 1
invece per $log (1-2/n)$ sfruttando il limite per $x rarr 0$ di $log(1+x)$ riduo tutto a $sqrt(n) + 2/n$
mi sono avvicinato?
attenzione, non puoi applicare macLaurin a $logn$... non è infinitesimo per $x-> INF$...
Io ho provato in questo modo ma con le serie ancora ho un po di problemini
Con il confronto asintotico $log(1 - 2/n) \sim -2/n$, mentre $(sqrtn + logn) \sim sqrtn$ (sfruttando gli ordini di infinito)
dunque mi ritrovo alla fine con $-(2sqrtn)/n = -2/sqrtn$ che per il confronto con la serie armonica diverge
Con il confronto asintotico $log(1 - 2/n) \sim -2/n$, mentre $(sqrtn + logn) \sim sqrtn$ (sfruttando gli ordini di infinito)
dunque mi ritrovo alla fine con $-(2sqrtn)/n = -2/sqrtn$ che per il confronto con la serie armonica diverge
Allora:
a. $sqrtn+logn$ è asintotico a $sqrt n$ quando n tende a più infinito;
b. $log(1-2/n)$ è asintotico a -2/n quando n tende a più infinito (perchè $-2/n$ è infinitesimo quando n tende a più infinito quindi si può usare il fatto che log(1+x) è asintotico a x per x che tende a 0)
Quindi il termine generale della serie è asintotico a $-2/n*sqrtn$, cioè a $-2/sqrtn$. La serie dunque diverge.
a. $sqrtn+logn$ è asintotico a $sqrt n$ quando n tende a più infinito;
b. $log(1-2/n)$ è asintotico a -2/n quando n tende a più infinito (perchè $-2/n$ è infinitesimo quando n tende a più infinito quindi si può usare il fatto che log(1+x) è asintotico a x per x che tende a 0)
Quindi il termine generale della serie è asintotico a $-2/n*sqrtn$, cioè a $-2/sqrtn$. La serie dunque diverge.
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