Serie

[bad.alex]

sono ormai agli sgoccioli, eppure ancora qualche dubbio residuo permane. Con le seguenti serie, dovrei stabilrne per ciascuna il carattere:
$sum( arctg( -1)^(3n+2))/(3n+2)$ e $sum [(sqrtn!)/(5^(n^2))-1/(sqrt(n+1))+1/(nsqrt(n+2))]$
avevo pensato per il primo di sfruttare il criterio di Leibniz. Per l'altra pensavo divergesse. mentre la prima convergesse. ma mi sta sorgendo il dubbio potesse essere oscillante a causa del segno alterno...chiedo maggiori chiarimenti. vi ringrazio, alex

[franced]

"bad.alex":
$sum( arctg( -1)^(3n+2))/(3n+2)$

Visto che $3n+2$ è alternativamente pari e dispari ($2,5,8,11,14,...$)
hai una serie a segni alterni.
Ora puoi concludere da solo.

[bad.alex]

"franced":[quote="bad.alex"]
$sum( arctg( -1)^(3n+2))/(3n+2)$

Visto che $3n+2$ è alternativamente pari e dispari ($2,5,8,11,14,...$)
hai una serie a segni alterni.
Ora puoi concludere da solo.[/quote]
se non ho sbagliato, sono arrivato alla conclusione che essa converga ma non assolutamente. confermi? ti ringrazio, alex

[franced]

"bad.alex":
se non ho sbagliato, sono arrivato alla conclusione che essa converga ma non assolutamente. confermi?

Se consideri il valore assoluto di $arctan ((-1)^(3n+2))$ trovi

$| arctan ((-1)^(3n+2)) | = pi/4$, cioè una costante.

La serie dei valori assoluti diventa allora:

$\sum (pi/4)/(3n+2) = pi/4 \sum 1/(3n+2)$

mediante il confronto con la serie $\sum 1/n$
si vede che c'è divergenza.

[bad.alex]

quindi la serie è divergente?? io ero convinto fosse convergente. avevo considerato la presenza della serie armonica, non lo nego ma...non so il perchè mi sono imputato che fosse convergente.

[_Tipper]

Occhio che franced ti ha solo detto che la serie non converge assolutamente.

[bad.alex]

"Tipper":Occhio che franced ti ha solo detto che la serie non converge assolutamente.

ah, ok. vi ringrazio, ragazzi.

alex.

[_Tipper]

Comunque...

"bad.alex":non so il perchè mi sono imputato che fosse convergente.

...ora ti chiedo: perché?

[bad.alex]

"Tipper":Comunque...

[quote="bad.alex"]non so il perchè mi sono imputato che fosse convergente.

...ora ti chiedo: perché?[/quote]
ehm...so che è assurdo ma in sede d'esami ero troppo in tensione allora ho ragionato in un modo assurdo, non degno neanche degli psicologi: praticamente, quasi convinto del fatto che arctg fosse decrescente e la serie a segni alterni ( avevo considerato già l'esponente) , avevo pensato al Criterio di Leibniz. ma non l'ho verificato. sono andato per assurdo e probabilmente avrò sbagliato. lo sconsiglio a tutti ma il tempo non mi bastava per completare altri esercizi...

[gugo82]

"bad.alex":[quote="Tipper"]Comunque...

[quote="bad.alex"]non so il perchè mi sono imputato che fosse convergente.

...ora ti chiedo: perché?[/quote]
ehm...so che è assurdo ma in sede d'esami ero troppo in tensione allora ho ragionato in un modo assurdo, non degno neanche degli psicologi: praticamente, quasi convinto del fatto che arctg fosse decrescente e la serie a segni alterni ( avevo considerato già l'esponente) , avevo pensato al Criterio di Leibniz. ma non l'ho verificato. sono andato per assurdo e probabilmente avrò sbagliato. lo sconsiglio a tutti ma il tempo non mi bastava per completare altri esercizi...[/quote]
Ma infatti $\sum (arctg(-1)^(3n+2))/(3n+2)$ converge per Leibniz, solo che la convergenza non può essere assoluta.

A proposito, $(arctg(-1)^(3n+2))/(3n+2)=\{(pi/(4(3n+2)), "se " n " è pari"),(-pi/(4(3n+2)), "se " n " è dispari"):}=(-1)^npi/(4(3n+2))$.

[bad.alex]

"Gugo82":

Ma infatti $\sum (arctg(-1)^(3n+2))/(3n+2)$ converge per Leibniz, solo che la convergenza non può essere assoluta.

A proposito, $(arctg(-1)^(3n+2))/(3n+2)=\{(pi/(4(3n+2)), "se " n " è pari"),(-pi/(4(3n+2)), "se " n " è dispari"):}=(-1)^npi/(4(3n+2))$.

concordiamo in questo. grazie a tutti voi. un esercizio l'ho fatto correttamente.fiu