Serie
Salve,mi sono imbattuto in questa serie e dopo averla svolta con il criterio della radice mi sono trovato come risultato 1 quindi nn funziona.....voi come la risolvereste?
$ (e^(sqrt(x^2 -x)-x))^n$
$ (e^(sqrt(x^2 -x)-x))^n$
Risposte
Come hai fatto a trovare $1$? Non dovrebbe venire fuori $e^{\sqrt{x^2 - x} - x}$?
"Tipper":
Come hai fatto a trovare $1$? Non dovrebbe venire fuori $e^{\sqrt{x^2 - x} - x}$?
ho svolto quello che ce all'esponente facendo$x^2 -x=x^2 =0$ poi $e^0 =1$ ho sbagliato?
Non ti seguo... Se hai una serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$, per utilizzare il criterio della radice devi calcolare $\lim_{n \to +\infty} \root{n}{a_n}$, no?
"Tipper":
Non ti seguo... Se hai una serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$, per utilizzare il criterio della radice devi calcolare $\lim_{n \to +\infty} \root{n}{a_n}$, no?
si ovvio.....e tramite la radice io toglievo l'esponente n e poi andavo a studiare il limite interno....tu come la studieresti questa serie?
Quando togli l'esponente ti rimane $e^{\sqrt{x^2 - x} - x}$, che non dipende da $n$, pertanto $\lim_{n \to +\infty} e^{\sqrt{x^2 - x} - x} = e^{\sqrt{x^2 - x} - x}$. Ora puoi sfruttare il criterio nella radice in questo modo
se $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} < 1$ la serie converge (quindi la serie converge per le $x$ che risolvono tale disequazione)
se $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} > 1$ la serie diverge (quindi la serie diverge per le $x$ che risolvono la disequazione)
se invece $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} = 1$ il criterio della radice non dà informazioni.
se $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} < 1$ la serie converge (quindi la serie converge per le $x$ che risolvono tale disequazione)
se $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} > 1$ la serie diverge (quindi la serie diverge per le $x$ che risolvono la disequazione)
se invece $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} = 1$ il criterio della radice non dà informazioni.
"Tipper":
Quando togli l'esponente ti rimane $e^{\sqrt{x^2 - x} - x}$, che non dipende da $n$, pertanto $\lim_{n \to +\infty} e^{\sqrt{x^2 - x} - x} = e^{\sqrt{x^2 - x} - x}$. Ora puoi sfruttare il criterio nella radice in questo modo
se $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} < 1$ la serie converge (quindi la serie converge per le $x$ che risolvono tale disequazione)
se $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} > 1$ la serie diverge (quindi la serie diverge per le $x$ che risolvono la disequazione)
se invece $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} = 1$ il criterio della radice non dà informazioni.
si ho capito,e infatti io ho fatto in questo modo,e per i miei calcoli viene 1......quidni ti sto chidendo se mi dici dove sbaglio...
Non capisco come fa a venirti $1$... Prova a risolvere la disequazione $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} < 1$, che equivale a $\sqrt{x^2 - x} - x < 0$.
"Tipper":
Non capisco come fa a venirti $1$... Prova a risolvere la disequazione $e^{\sqrt{x^2 - x} - x} < 1$, che equivale a $\sqrt{x^2 - x} - x < 0$.
penso x>0
L'ho risolta velocemente, e se non ho sbagliato i conti viene $x \ge 1$. Questo vuol dire che per ogni $x \ge 1$ la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} (e^{\sqrt{x^2 - x} - x})^n$ converge.
Analogamente, risolvendo $\sqrt{x^2 - x} - x < 0$ trovi le $x$ per cui la serie diverge. Invece i valori che risolvono $\sqrt{x^2 - x} - x = 0$ sono quelli per cui il criterio della radice non ti dà informazioni (ovvero per questi valori la serie potrebbe convergere o divergere).
Analogamente, risolvendo $\sqrt{x^2 - x} - x < 0$ trovi le $x$ per cui la serie diverge. Invece i valori che risolvono $\sqrt{x^2 - x} - x = 0$ sono quelli per cui il criterio della radice non ti dà informazioni (ovvero per questi valori la serie potrebbe convergere o divergere).
"Tipper":
L'ho risolta velocemente, e se non ho sbagliato i conti viene $x \ge 1$. Questo vuol dire che per ogni $x \ge 1$ la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} (e^{\sqrt{x^2 - x} - x})^n$ converge.
Analogamente, risolvendo $\sqrt{x^2 - x} - x < 0$ trovi le $x$ per cui la serie diverge. Invece i valori che risolvono $\sqrt{x^2 - x} - x = 0$ sono quelli per cui il criterio della radice non ti dà informazioni (ovvero per questi valori la serie potrebbe convergere o divergere).
scusami e che operazioone hai fatto per farti venire x>1?
Risolvere $\sqrt{x^2 - x} < x$ equivale a risolvere il sistema
$\{(x^2 - x \ge 0),(x > 0), (x^2 - x < x^2):}$
$\{(x^2 - x \ge 0),(x > 0), (x^2 - x < x^2):}$
$\sum_{n=0}^{\infinity} \( e^{\sqrt{x^2-x}-x} \)^n$ è una serie geometrica di ragione $\( e^{\sqrt{x^2-x}-x} \)$, una serie geometrica converge quando la sua ragione in valore assoluto è minore di 1. Poichè l'esponenziale non è mai negativo, possiamo dire che la serie converge in [0,1), a calcoli fatti quando $x> -1$.
Il risultato finale è $\frac{1}{1-e^{\sqrt{x^2-x}-x}}$.
Il risultato finale è $\frac{1}{1-e^{\sqrt{x^2-x}-x}}$.
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