Serie

[bad.alex]

provare che la serie :

$sum_(n=1)nx/((1+x)^(n-1))$
è convergente puntualmente in [0,+oo[
trovare la funzione somma in [0,+oo[
provare che la serie non converge uniformemente in [0,+oo[
provare che negli intervalli[a,+oo[, a>0, la convergenza è uniforme.

Ragazzi, questo è il testo di un esercizio d’esame. A parte che la mia presenza al primo appello risulterà inutile, dal momento che le mie lacune…non sono state colmate, vi chiedo se possibile di darmi altra prova della vostra gentilezza: non riesco infatti a capire come svolgere gli esercizi che richiedano convergenza uniforme, puntuale o totale ( in questo caso si tengono in considerazione solo le prime due). vi ringrazio, vostro alex

[gugo82]

"bad.alex":a) provare che $sum_(n=1)nx/((1+x)^(n-1))$ è convergente puntualmente in $[0,+oo[$;
b) trovare la funzione somma in $[0,+oo[$;
c) provare che la serie non converge uniformemente in $[0,+oo[$;
d) provare che negli intervalli $[a,+oo[$, con $a>0$, la convergenza è uniforme.

Come al solito in questo tipo di esercizi o applichi brutalmente le definizioni o ti riconduci a cose note: in questo caso c'è di mezzo qualcosa che assomiglia alla derivata della serie geometrica (che è cosa nota dalla teoria, per essere l'applicazione classica dei teoremi di integrazione e derivazione termine a termine), quindi potresti partire da quello.

Prova a fare qualche conto. Poi casomai confronta con la soluzione che propongo qui sotto.

a) Per la convergenza puntuale devi stabilire per quali $x in RR$ la serie $sum_(n=1)nx/((1+x)^(n-1))$ converge. Facciamo la sostituzione $y=x+1$: in tal modo la tua serie si trasforma in $\sum n (y-1)/y^(n-1)=(y-1)*\sum n*(1/y)^(n-1)$ cosicché essa è il prodotto di una funzione affine ($y-1$) e di una serie di potenze in $1/y$; in tal modo si vede che stabilire l'insieme di convergenza della serie assegnata può farsi dapprima stabilendo l'insieme di convergenza di $\sum n(1/y)^(n-1)$ e poi applicando la trasformazione inversa $x=y-1$.
La serie di potenze ha raggio di convergenza unitario e perciò converge per tutti e soli i valori di $y$ tali che $|1/y|<1$ ovvero per $y< -1$ od $y>1$; applicando la trasformazione inversa, ovverosia sostituendo $y=x-1$ nelle due ultime uguaglianze, troviamo che la serie converge certamente per i valori della variabile definiti dalle limitazioni $x< -2$ ed $x>0$; d'altra parte, con una semplive sostituzione nel testo dell'esercizio, si vede che $\sum n x/(1+x)^(n-1)$ converge per $x=0$ (infatti si ottiene la serie con tutti gli addendi nulli) e però non converge in $x=-2$ (infatti non è verificata la condizione necessaria alla convergenza).
Ne viene che l'insieme di convergenza puntuale della serie è $C_p=]-oo,-2[ cup [0,+oo[$.

b) Per quanto riguarda la somma basta ricondursi nuovamente ad una serie nota.
Ricordando il cambiamento di variabile fatto in precedenza troviamo $(y-1)*\sum n(1/y)^(n-1)$; tralasciando per un attimo il fattore $y-1$, sostituiamo nella serie $\sum n(1/y)^(n-1)$ $z=1/y$: in tal modo troviamo $\sumn*z^(n-1)$ con convergenza uniforme per $|z|<1$; detta $s(z)$ la somma della serie $\sum nz^(n-1)$, possiamo integrare termine a termine in $]-1,1[$ con punto iniziale $0$ ambo i membri dell'uguaglianza $s(z)=\sum_(n=1)^(+oo) nz^(n-1)$ trovando:

$\int_0^z s(zeta) " d"zeta=\sum_(n=1)^(+oo)z^n=1/(1-z)-1$;

derivando i membri esterni della precedente catena si ottiene:

$s(z)=("d")/("d"z)[1/(1-z)]=-1/(1-z)^2$.

Sostituendo a ritroso troviamo:

$\sum_(n=1)^(+oo)n*(1/y)^(n-1)=-1/(1-1/y)^2=- y^2/(y-1)^2 quad => quad (y-1)*\sum_(n=1)^(+oo)n*(1/y)^(n-1)=- y^2/(y-1) quad=> quad \sum_(n=1)^(+oo) n x/(1+x)^(n-1)=-(1+x)^2/x$

e con ciò abbiamo stabilito che la somma della serie assegnata è $-(1+x)^2/x$.

c) La convergenza della serie non può essere uniforme in $[0,+oo[$: infatti, se per assurdo lo fosse, la funzione somma dovrebbe essere continua in $0$, contro il fatto che $-(1+x)^2/x$ non è continua.

d) D'altra parte la convergenza è uniforme in qualunque semiretta del tipo $[a,+oo[$ con $a>0$ e ciò si desume facilmente dal fatto che la serie $\sum nz^(n-1)$ converge uniformemente in ogni intervallo del tipo $]0,alpha[$ con $alpha= 1/(1+a)<1$.

Spero di non aver fatto errori di calcolo.

[bad.alex]

"Gugo82":[quote="bad.alex"]a) provare che $sum_(n=1)nx/((1+x)^(n-1))$ è convergente puntualmente in $[0,+oo[$;
b) trovare la funzione somma in $[0,+oo[$;
c) provare che la serie non converge uniformemente in $[0,+oo[$;
d) provare che negli intervalli $[a,+oo[$, con $a>0$, la convergenza è uniforme.

Come al solito in questo tipo di esercizi o applichi brutalmente le definizioni o ti riconduci a cose note: in questo caso c'è di mezzo qualcosa che assomiglia alla derivata della serie geometrica (che è cosa nota dalla teoria, per essere l'applicazione classica dei teoremi di integrazione e derivazione termine a termine), quindi potresti partire da quello.

Prova a fare qualche conto. Poi casomai confronta con la soluzione che propongo qui sotto.

a) Per la convergenza puntuale devi stabilire per quali $x in RR$ la serie $sum_(n=1)nx/((1+x)^(n-1))$ converge. Facciamo la sostituzione $y=x+1$: in tal modo la tua serie si trasforma in $\sum n (y-1)/y^(n-1)=(y-1)*\sum n*(1/y)^(n-1)$ cosicché essa è il prodotto di una funzione affine ($y-1$) e di una serie di potenze in $1/y$; in tal modo si vede che stabilire l'insieme di convergenza della serie assegnata può farsi dapprima stabilendo l'insieme di convergenza di $\sum n(1/y)^(n-1)$ e poi applicando la trasformazione inversa $x=y-1$.
La serie di potenze ha raggio di convergenza unitario e perciò converge per tutti e soli i valori di $y$ tali che $|1/y|<1$ ovvero per $y< -1$ od $y>1$; applicando la trasformazione inversa, ovverosia sostituendo $y=x-1$ nelle due ultime uguaglianze, troviamo che la serie converge certamente per i valori della variabile definiti dalle limitazioni $x< -2$ ed $x>0$; d'altra parte, con una semplive sostituzione nel testo dell'esercizio, si vede che $\sum n x/(1+x)^(n-1)$ converge per $x=0$ (infatti si ottiene la serie con tutti gli addendi nulli) e però non converge in $x=-2$ (infatti non è verificata la condizione necessaria alla convergenza).
Ne viene che l'insieme di convergenza puntuale della serie è $C_p=]-oo,-2[ cup [0,+oo[$.

b) Per quanto riguarda la somma basta ricondursi nuovamente ad una serie nota.
Ricordando il cambiamento di variabile fatto in precedenza troviamo $(y-1)*\sum n(1/y)^(n-1)$; tralasciando per un attimo il fattore $y-1$, sostituiamo nella serie $\sum n(1/y)^(n-1)$ $z=1/y$: in tal modo troviamo $\sumn*z^(n-1)$ con convergenza uniforme per $|z|<1$; detta $s(z)$ la somma della serie $\sum nz^(n-1)$, possiamo integrare termine a termine in $]-1,1[$ con punto iniziale $0$ ambo i membri dell'uguaglianza $s(z)=\sum_(n=1)^(+oo) nz^(n-1)$ trovando:

$\int_0^z s(zeta) " d"zeta=\sum_(n=1)^(+oo)z^n=1/(1-z)-1$;

derivando i membri esterni della precedente catena si ottiene:

$s(z)=("d")/("d"z)[1/(1-z)]=-1/(1-z)^2$.

Sostituendo a ritroso troviamo:

$\sum_(n=1)^(+oo)n*(1/y)^(n-1)=-1/(1-1/y)^2=- y^2/(y-1)^2 quad => quad (y-1)*\sum_(n=1)^(+oo)n*(1/y)^(n-1)=- y^2/(y-1) quad=> quad \sum_(n=1)^(+oo) n x/(1+x)^(n-1)=-(1+x)^2/x$

e con ciò abbiamo stabilito che la somma della serie assegnata è $-(1+x)^2/x$.

c) La convergenza della serie non può essere uniforme in $[0,+oo[$: infatti, se per assurdo lo fosse, la funzione somma dovrebbe essere continua in $0$, contro il fatto che $-(1+x)^2/x$ non è continua.

d) D'altra parte la convergenza è uniforme in qualunque semiretta del tipo $[a,+oo[$ con $a>0$ e ciò si desume facilmente dal fatto che la serie $\sum nz^(n-1)$ converge uniformemente in ogni intervallo del tipo $]0,alpha[$ con $alpha= 1/(1+a)<1$.

Spero di non aver fatto errori di calcolo.

[/quote]

ciao gugo. ho provato per conto mio ma senza successo. allora ho visto lo svolgimento...di male in peggio. forse mi occorrerebbero degli esempi più semplici per vedere come studiare convergenza di serie ( non troppo ma quanto basta per capire in cosa essa consista e come fare a svolgere questi esercizi) . io ho soltanto esercizi di compiti in vista di futuri esami e altri testi non chiedono convergenza. sapresti darmi una dimostrazione, farmi un esempio di questi tre casi?scusa il disturbo...alex