Serie

[Sk_Anonymous]

salve, avrei da proporre in quesito a proposito della convergenza di una serie:

supponiamo di avere l'identità

$sum_(k=0)^ooa_k=sum_(k=0)^(n_0)a_k+sum_(k=n_0+1)^oo a_k

se la serie converge $sum_(k=0)^oo a_k=s
da cui
$sum_(k=n_0+1)^oo a_k=s-s_0

passando al limite per $n_0->+oo$ si trova

CRITERIO 1:
$sum_(k=0)^oo a_k$ convergente $=> sum_(k=n_0+1)^oo a_k -> 0$ per $n_0->+oo

Vogliamo studiare la convergenza della seguente serie:

$sum_(k=0)^oo 1/(sqrt(k^2+3k+7))

applichiamo il criterio di Cauchy e studiamo la seguente successione di somme parziali:

$sum_(k=n)^(2n) 1/(sqrt(k^2+3k+7))= 1/(sqrt(n^2+3n+7))+1/(sqrt((n+1)^2+3(n+1)+7))+1/(sqrt((n+2)^2+3(n+2)+7))+...+1/(sqrt(4n^2+6n+7)) >= (n+1)/(sqrt(4n^2+6n+7))>=n/(sqrt(4n^2+6n+7))=1/(sqrt(4+o(1)))->1/2$ per $n->+oo

questa somma non può convergere a zero e quindi per il CRITERIO 1 e per il criterio di Cauchy, la serie in esame non converge.

E' giusto il ragionamento? (forse un po' rozzo ma in sostanza?)

[Sk_Anonymous]

per la seguente serie ho svolto questo ragionamento:

$sum_(k=1)^oo (5k^2-1)/(k^3+1)tan(1/k)

essendo $(5k^2-1)/(k^3+1)tan(1/k)<=(5k^2-1)/(k^3+1)$ definitivamente per $k->+oo
per il criterio del confronto basta dimostrare la convergenza di $(5k^2-1)/(k^3+1)

criterio di CAuchy:
$sum_(k=n)^(2n) (5k^2-1)/(k^3+1)=(5n^2-1)/(n^3+1)+(5(n+1)^2-1)/((n+1)^3+1)+...+(20n^2-1)/(8n^3+1)<=(n+1)(20n^2-1)/(n^3+1)=(20n^3+20n^2-n-1)/(n^3+1)=20+o(1)$ per $n->+oo

[gugo82]

"NOKKIAN80":salve, avrei da proporre in quesito a proposito della convergenza di una serie:

supponiamo di avere l'identità

$sum_(k=0)^ooa_k=sum_(k=0)^(n_0)a_k+sum_(k=n_0+1)^oo a_k

se la serie converge $sum_(k=0)^oo a_k=s
da cui
$sum_(k=n_0+1)^oo a_k=s-s_0

passando al limite per $n_0->+oo$ si trova

CRITERIO 1:
$sum_(k=0)^oo a_k$ convergente $=> sum_(k=n_0+1)^oo a_k -> 0$ per $n_0->+oo

Questo è un risultato classico; la successione di termine generale $sum_(k=n+1)^oo a_k$ si chiama successione dei resti di $\sum a_n$.

"NOKKIAN80":Vogliamo studiare la convergenza della seguente serie:

$sum_(k=0)^oo 1/(sqrt(k^2+3k+7))

applichiamo il criterio di Cauchy e studiamo la seguente successione di somme parziali:

$sum_(k=n)^(2n) 1/(sqrt(k^2+3k+7))= 1/(sqrt(n^2+3n+7))+1/(sqrt((n+1)^2+3(n+1)+7))+1/(sqrt((n+2)^2+3(n+2)+7))+...+1/(sqrt(4n^2+6n+7)) >= (n+1)/(sqrt(4n^2+6n+7))>=n/(sqrt(4n^2+6n+7))=1/(sqrt(4+o(1)))->1/2$ per $n->+oo

questa somma non può convergere a zero e quindi per il CRITERIO 1 e per il criterio di Cauchy, la serie in esame non converge.

E' giusto il ragionamento? (forse un po' rozzo ma in sostanza?)

Ma non è più semplice far vedere che la serie è minorata da un multiplo della serie armonica?
Basta scrivere $1/(\sqrt(n^2+6n+7))=1/(n*\sqrt(1+6/n+7/n^2))$ e tenere presente che risulta $1+6/n+7/n^2le14$ per ogni $n in NN$.

[Sk_Anonymous]

ti spiacerebbe mostrare i passaggi? non ho mai avuto a che fare con questi oggetti....

[gugo82]

"NOKKIAN80":ti spiacerebbe mostrare i passaggi? non ho mai avuto a che fare con questi oggetti....

Se ti riferisci alla minorazione ti accontento subito: la successione di termine generale $1+6/n+7/n^2$ è strettamente decrescente (poichè somma di successioni strettamente decrescenti), quindi prende il suo massimo per $n=1$ e si ha $AA n in NN, 1+6/n+7/n^2le 1+6/1+7/1^2=14 quad => quad 1/(sqrt(1+6/n+7/n^2))ge 1/(sqrt(14))$; ne viene che per ogni $n$ si ha $1/(sqrt(n^2+6n+7))=1/(n*sqrt(1+6/n+7/n^2))ge 1/(n*sqrt(14))$ pertanto la serie $\sum 1/(sqrt(n^2+6n+7))$ è minorata termine a termine dalla serie $1/(sqrt(14))*\sum 1/n$; poichè $\sum 1/n$ è positivamente divergente (questa è la cosiddetta serie armonica) e $1/sqrt(14)>0$, anche $1/(sqrt(14))*\sum 1/n$ è positivamente divergente; il teorema del confronto ti assicura che dalla minorazione $\sum 1/(sqrt(n^2+6n+7)) ge1/(sqrt(14))*\sum 1/n$ e da $1/sqrt(14)*\sum_(n=1)^(+oo) 1/n=+oo$ segue $\sum_(n=1)^(+oo) 1/(sqrt(n^2+6n+7))=+oo$.

[Sk_Anonymous]

ok ho capito.... grazie

abbiamo applicato il teorema che dice

$sum_(k=0)^ooa_k$ è convergente $<=>$ la successione delle sue somme parziali è limitata

no?

[gugo82]

"NOKKIAN80":sbaglio o stai dando per scontato

$a_k<=b_k => sum a_k<=sum b_k
?

Ovvio.
Se $AA n in NN, a_nle b_n$ allora si ha pure $AA n in NN, \sum_(k=1)^n a_kle \sum_(k=1)^n b_n$: in tal caso si dice che la serie $\sum a_n$ minora $\sum b_n$ o che $\sum b_n$ è minorata da $\sum a_n$ (simmetricamente si può anche dire che $\sum b_n$ maggiora $\sum a_n$ o che $\sum a_n$ è maggiorata da $\sum b_n$).
Supposto che $\sum a_n$ minori $\sum b_n$, il Teorema del Confronto tra successioni ti assicura che se $\sum_(n=1)^(+oo) a_n=lim_(n to +oo) \sum_(k=1)^n a_k=+oo$ allora risulta pure $\sum_(n=1)^(+oo)b_n=+oo$ (e viceversa se $\sum_(n=1)^(+oo)b_n=-oo$ allora anche $\sum_(n=1)^(+oo)a_n=-oo$)

N.B.: Io uso due simboli distinti per due oggetti distinti: $\sum a_n$ è la serie di termine generale $a_n$; $\sum_(n=1)^(+oo) a_n$ è la somma della serie $\sum a_n$. In proposito vedi questo thread di qualche mese fa, dove si discuteva della definizione formale di "serie".

"NOKKIAN80":abbiamo applicato il teorema che dice

$sum_(k=0)^ooa_k$ è convergente $<=>$ la successione delle sue somme parziali è limitata

no?

Questo non è un teorema, ma una definizione.

[Sk_Anonymous]

per la serie $sum_(k=0)^oo1/(k^2+k^(4/3)+1)$ non si può fare questo discorso essendo

$a_k=1/(k^2+k^(4/3)+1)=1/(k^2(1+1/k^(2/3)+1/k^2))>=1/(3k^2)$ e $1/3sum_(k=1)^oo1/k^2$ converge

la serie però soddisfa il criterio di Cauchy:

$sum_(k=n)^(2n)1/(k^2+k^(4/3)+1)=1/(n^2+n^(4/3)+1)+1/((n+1)^2+(n+1)^(4/3)+1)+...+1/(4n^2+(2n)^(4/3)+1)

ogni termine della serie è minore o uguale a $1/(n^2+n^(4/3)+1)

penso si possa affermare

$sum_(k=n)^(2n)1/(k^2+k^(4/3)+1)<=(n+1)/(n^2+n^(4/3)+1)->0$ per $n->+oo

CONCLUSIONI:

$sum_(k=0)^oo1/(k^2+k^(4/3)+1) in RR$

è giusto?

[gugo82]

"NOKKIAN80":per la serie $sum_(k=0)^oo1/(k^2+k^(4/3)+1)$ non si può fare questo discorso essendo

$a_k=1/(k^2+k^(4/3)+1)=1/(k^2(1+1/k^(2/3)+1/k^2))>=1/(3k^2)$ e $1/3sum_(k=1)^oo1/k^2$ converge

Però qui puoi trovare una maggiorante convergente!

Infatti la successione $1+1/n^(2/3)+1/n^2 to 1$ quindi esisterà un $nu in NN$ tale che $AA n ge nu, 1+1/n^(2/3)+1/n^2ge 1/2 quad => quad 1/(n^2*(1+1/n^(2/3)+1/n^2))le 1/(1/2*n^2)=2/n^2$; quindi la serie $sum 1/(n^2+n^(4/3)+1)$ è maggiorata definitivamente (cioè dal $nu$-esimo addendo in poi) da $2*\sum 1/n^2$, la quale converge perchè armonica generalizzata di esponente $alpha=2>1$; ne viene che le somme parziali di $sum 1/(n^2+n^(4/3)+1)$ formano una successione crescente (infatti la serie è a termini positivi) e superiormente limitata (poichè $AA n in NN, sum_(k=1)^n1/(k^2+k^(4/3)+1) le 2*\sum_(n=1)^(+oo)1/n^2 <+oo$), quindi la serie converge.

"NOKKIAN80":la serie però soddisfa il criterio di Cauchy:

$sum_(k=n)^(2n)1/(k^2+k^(4/3)+1)=1/(n^2+n^(4/3)+1)+1/((n+1)^2+(n+1)^(4/3)+1)+...+1/(4n^2+(2n)^(4/3)+1)

ogni termine della serie è minore o uguale a $1/(n^2+n^(4/3)+1)

penso si possa affermare

$sum_(k=n)^(2n)1/(k^2+k^(4/3)+1)<=(n+1)/(n^2+n^(4/3)+1)->0$ per $n->+oo

CONCLUSIONI:

$sum_(k=0)^oo1/(k^2+k^(4/3)+1) in RR$

è giusto?

Quando decidi di applicare Cauchy purtroppo devi considerare tutti i modi possibili in cui puoi scegliere $n,m$ quando scrivi $\sum_(k=n)^m a_k$; insomma, non puoi fissare di testa tua $m=2n$ e poi dire che vale la proprietà di Cauchy (a meno che non dimostri che il valere la proprietà di Cauchy per $m=2n$ implica il valere la stessa proprietà per tutti gli $m in NN$ maggiori di $n$).

Mi pare di averti già fatto notare questa cosa tempo fa...

[Sk_Anonymous]

eh eh hai ragione! questo è un concetto che ancora non mi è entrato bene in testa

è proprio il concetto di minoranti o maggioranti usato in questo modo che mi è nuovo, poi non si capisce bene dove va applicato il concetto di limite... devo ancora rivedere nel dettaglio i passagi cmq a prima vista mi sembra illuminante!

[Sk_Anonymous]

"Gugo82":

Quando decidi di applicare Cauchy purtroppo devi considerare tutti i modi possibili in cui puoi scegliere $n,m$ quando scrivi $\sum_(k=n)^m a_k$; insomma

grande! è proprio questo quello che volevo sapere, non riuscivo a capire il criterio in cui si sceglie questo m, n

[Sk_Anonymous]

per stabilire la convergenza di


$sum_(k=1)^oo sin^2(1/k)

basta dimostrare che è definitivamente $sin^2 1/n<=1/n^2$ per $n->+oo

ovvero studiare il comportamento della funzione $f(n)=sin^2 1/n-1/n^2$ in un intorno di più infinito:

$f(n)=sin^2 1/n-1/n^2= (1/n-1/(6n^3)+o(1/n^3))^2-1/n^2=1/n^2-1/(3n^4)+o(1/n^4)-1/n^2=-1/(3n^4)(1+o(1))->0^-$ per $n->+oo

perciò la disuguaglianza è verificata e per il criterio del confronto, essendo $sin^2 1/k >0 AA n in NN

$sum_(k=1)^oo 1/k^2 in RR => sum_(k=1)^oo sin^2 1/k$ converge

[gugo82]

"NOKKIAN80":per stabilire la convergenza di


$sum_(k=1)^oo sin^2(1/k)

basta dimostrare che è definitivamente $sin^2 1/n<=1/n^2$ per $n->+oo

ovvero studiare il comportamento della funzione $f(n)=sin^2 1/n-1/n^2$ in un intorno di più infinito:

$f(n)=sin^2 1/n-1/n^2= (1/n-1/(6n^3)+o(1/n^3))^2-1/n^2=1/n^2-1/(3n^4)+o(1/n^4)-1/n^2=-1/(3n^4)(1+o(1))->0^-$ per $n->+oo

perciò la disuguaglianza è verificata e per il criterio del confronto, essendo $sin^2 1/k >0 AA n in NN

$sum_(k=1)^oo 1/k^2 in RR => sum_(k=1)^oo sin^2 1/k$ converge

Giusto, ma troppo complicato NOKKIAN80.

Meglio così: per un limite notevole è $lim (sin^2 1/n)/(1/n^2)=1$ cosicchè la successione di termine generale $(sin^2 1/n)/(1/n^2)$ è limitata; detto $M>0$ un suo maggiorante si ha per ogni $n in NN$ $sin^2 1/nle M/n^2$, perciò la serie a termini positivi $\sum sin^2 1/n$ è maggiorata termine a termine dalla serie convergente $M\sum 1/n^2$ (multipla dell'armonica generalizzata d'esponente due). Per concludere basta invocare il teorema del confronto per le serie a termini non negativi.

[Sk_Anonymous]

thanks

[Sk_Anonymous]

stabilire la convergenza della seguente serie al variare di $b in RR$

$sum_(k=1)^oo (ln (1+b^2)-lnb^2)^(1/(tan (1/k)))

dunque per $k -> +oo$, $a_k=(ln (1+b^2)-lnb^2)^(1/(tan (1/k)))=(ln((1+b^2)/b^2))^(1/tan(1/k))=(ln((1+b^2)/b^2))^(k(1+o(1)))

questo significa che la successione delle somme parziali, in un intorno di più infinito, si comporta come una seria geometrica di ragione $ln((1+b^2)/b^2)$ che converge se e solo se $-1
in definitiva la serie in esame converge se $b in (-1/sqrt(e-1),1/sqrt(e-1))\\{0}

passabile?