Serie

[darinter]

Ho qualche dubbio sulle seguenti serie:

1)$ sum_(n=1)^(+oo) (2-cosk)/k$ Ho utilizzato il criterio del confronto e detto che $(2-cosk)/k^2<3/k^2<1/(k/2)^2$ quest'ultima sbaglio se la considero una serie armonica generalizzata?Perchè in tal caso $ sum_(n=1)^(+oo) (2-cosk)/k$ convergerebbe.

2)Devo utilizzaro il criterio degli infinitesimi per vedere il carattere di questa serie:$ sum_(n=1)^(+oo) (1/k -sen(1/k))$ solo che non riesco ad ottenere nulla,perchè mi trovo che p=1 e il lim=0.

3)Dire per quali numeri reali $x>=0$ la serie risulta convergente:$ sum_(n=1)^(+oo) (1- cos(x^k/k))$.Su questa non riesco a ricondurmi alla serie geometrica.


Grazie

[fu^2]

sulla 3)
allora la seire è a segni alterni (infatti il coseno va da -1 a 1) quindi proviamo a vedere se converge assolutamente per quali x... $sum_(k=0)^+oo|(1-cos(x^k/k))|=sum_(k=0)^+oo(x^k/k)^2$ salvo errori di distrazione...
poi dovresti valutare per quali x la serie converge ma non assolutamente, applicando magari il criterio di Leibniz.

ricordati il limite notevole $(1-cosepsilon_n)/epsilon_n^2$ con la successione $epsilon_n->0,nto+oo

[darinter]

"fu^2":sulla 3)
allora la seire è a segni alterni (infatti il coseno va da -1 a 1) quindi proviamo a vedere se converge assolutamente per quali x... $sum_(k=0)^+oo|(1-cos(x^k/k))|=sum_(k=0)^+oo(x^k/k)^2$ salvo errori di distrazione...
poi dovresti valutare per quali x la serie converge ma non assolutamente, applicando magari il criterio di Leibniz.

ricordati il limite notevole $(1-cosepsilon_n)/epsilon_n^2$ con la successione $epsilon_n->0,nto+oo

Scusa, ma non ho capito come faccio a dire che $sum_(k=0)^+oo|(1-cos(x^k/k))$ è uguale a $sum_(k=0)^+oo(x^k/k)^2$

Grazie

[fu^2]

nota $lim_(kto+oo)|1-cos(x^k/k)|/(x^(2k)/k^2)=0=>|1-cos(x^k/k)|=o((x^(2k)/k^2))

scusa avevo messo un uguale invece è un $<=$ mi son dimenticato un segn,,
con questa maggiorazione puoi già vedere quali x fan convergere e quali no. NON è detto a priori che siano gli unici.