Serie
ho bisogno del vostro aiuto, devo risolvere questa serie ma non so da dove cominciare e come fare...spero in un aiuto da parte vostra:
$sum_(n=0)^(+oo) sin ((pi)/2 + npi)(n^(alpha-2))/(n^3+sqrtx+1)
$sum_(n=0)^(+oo) sin ((pi)/2 + npi)(n^(alpha-2))/(n^3+sqrtx+1)
Risposte
Considera che $\sin(\frac{\pi}{2} + n \pi) = \cos(n \pi) = (-1)^n$.
quindi avrei $sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n (n^(alpha-2))/(n^3+sqrtx+1)$ giusto? applico il criterio di Leibnitz per le serie a segni alterni o no?
Dovresti dimostrare che quella roba è decrescente... Se ti accontenti di determinare per quali parametri $\alpha$ la serie converge assolutamente è più semplice...
non so farlo 
mi aiutate per favore? è importante
"Littlestar":
quindi avrei $sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n (n^(alpha-2))/(n^3+sqrtx+1)$ giusto? applico il criterio di Leibnitz per le serie a segni alterni o no?
Criterio di Leibnitz quella serie converge se $\lim_{x\to +\infty} (n^(alpha-2))/(n^3+sqrtx+1) = 0$.
Qualsiasi cosa si la $x$ quella serie converge per $alpha < 5$ ($alpha - 2 < 3$).
nick... quindi se io scrivo solo così va bene? come faccio a dire ke $alpha<5 (alpha-2<3)$ cioè da dove ottengo questo? grazie mille sei gentilissimo 
comunque c'è un errore... al denominatore nn c'è $sqrtx$ ma $sqrtn$ resta tt uguale?
op volevo dire GRAZIE VICT85
"Littlestar":
nick... quindi se io scrivo solo così va bene? come faccio a dire ke $alpha<5$ [...] cioè da dove ottengo questo? grazie mille sei gentilissimo
Guardi per che valori di $alpha$ la successione tende a 0. Confronti gli esponenti e trovi che $alpha -2 < 3$ $\to$ $alpha < 5$
P.S: avevo messo la parentesi ma non era una moltiplicazione era solo una precisazione sul metodo.
COME FACCIO A CONFRONTARE GLI ESPONENTI??
"Littlestar":
ho bisogno del vostro aiuto, devo risolvere questa serie ma non so da dove cominciare e come fare...spero in un aiuto da parte vostra:
$sum_(n=0)^(+oo) sin ((pi)/2 + npi)(n^(alpha-2))/(n^3+sqrtn+1)
come ha detto Tipper $sin(pi/2+npi)=cos(pin)
quini la serie diventa $sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n(n^(alpha-2))/(n^3+sqrtx+1)
prima condizione per convergere (condizione necessari) $lim_(nto+oo)a_n=0
calcoliamolo:
$lim_(nto+oo)(n^(alpha-2))/(n^3+sqrtn+1)=lim_(nto+oo)n^(alpha-2)/n^3=>a_n->0<=>alpha-2<3<=>alpha<5
e questa è la prima condizione per applicare leibniz, iniltre deve essere decrescente, quindi posto
$f(x)=(x^(alpha-2))/(x^3+sqrtx+1)=>f'(x)=((alpha-2)x^(alpha-3)*(x^3+sqrtx+1)-x^(alpha-2)*(3x^2+1/2x^(-1/2)))/(x^3+sqrtx+1)^2
studiamo la derivata:
$f'(x)>0<=>(alpha-2)x^(alpha-3)*(x^3+sqrtx+1)-x^(alpha-2)*(3x^2+1/2x^(-1/2))>0<=>
$x^(alpha-3)((alpha-2)(x^3+sqrtx+1)-x(3x^2+1/2x^(-1/2)))>0<=>
$x^(alpha-3)((alpha-2)x^3+(alpha-2)sqrtx+1)-3x^3+1/2x^(1/2)>0<=>
$x^(alpha-3)((alpha-5)x^3+(alpha-3/2)sqrtx+1)>0
quindi in modo definitivo possiamo dire che la derivata prima si comporta come $x^(alpha-3)(alpha-5)x^3=(alpha-5)x^(alpha)
anche da qui, il limite per $xto+oo$ deve essere $-oo$ in quanto, se così non fosse non sarebbe definitivamente negativa, e anche in questo caso si ha questo risultato se $alpha<5$ come avevam già detto nel fare il limite... che culo potevam risparmire le odiate derivate, ma est la vie!
spero di essere stato chiaro .... alla prossima
cmq tutto questo era già stato detto da vic85 in modo altrettanto chiaro..
non riesco a ricordare perche$sin(pi/2 + npi)=cos(npi)$ potete aiutarmi?
se n=0 il $sen[(pi)/2] =1$ giusto? non capisco perchè è uguale a $cos(npi)$
"Littlestar":
non capisco perchè $sin(pi/2+npi)$ è uguale a $cos(npi)$
Segue dalla relazione per gli angoli complementari:
$sin(pi/2-x)=cos(x)$
e dalla parità della funzione coseno:
$cos(-y)=cos(y)$
che valgono $AA x,y in RR$.
Nel tuo caso hai:
$sin(pi/2+npi)=sin(pi/2-(-npi))=cos(-npi)=cos(npi)$
ove per passare dal primo al terzo membro hai usato l'uguaglianza $n pi=-(-npi)$, per passare dal secondo al terzo membro hai usato la relazione per gli angoli complementari con $x=-npi$ e per passare dal terzo all'ultimo membro hai usato la parità della funzione coseno con $y=npi$.
"Littlestar":
ho bisogno del vostro aiuto, devo risolvere questa serie ma non so da dove cominciare e come fare...spero in un aiuto da parte vostra:
$sum_(n=0)^(+oo) sin ((pi)/2 + npi)(n^(alpha-2))/(n^3+sqrtn+1)
Come ha detto Tipper, la tua serie equivale a quella che scrivo di seguito:
$sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n (n^(alpha-2))/(n^3+sqrtn+1)$
la quale è a segni alterni.
Come hanno fatto notare altri, la successione degli addendi, ossia quella di termine generale $a_n=(-1)^n (n^(alpha-2))/(n^3+sqrtn+1)$, tende a zero al crescere di $n$ solo se $alpha-2<3$, ossia solo se $alpha<5$: quindi per $alpha ge 5$ la tua serie non può convergere perchè non è verificata la condizione necessaria alla convergenza.
Prima di andare a cercare per quali $alpha$ c'è convergenza semplice, andiamo a vedere se esistono valori di $alpha$ per i quali la serie converge assolutamente (infatti verificare la convergenza assoluta è in generale più semplice che verificare la convergenza semplice... il che sembra un astuto gioco di parole, ma non è così!
).Per definizione la tua serie converge assolutamente se converge la serie:
$sum_(n=0)^(+oo) |(-1)^n (n^(alpha-2))/(n^3+sqrtn+1)|=sum_(n=0)^(+oo) (n^(alpha-2))/(n^3+sqrtn+1)$;
visto che $AA n in NN, n^3+sqrtn+1>n^3 quad => quad 1/(n^3+sqrtn +1)<1/(n^3)$, gli addendi della serie al secondo membro della precedente a partire da quello di indice $1$ sono più piccoli degli addendi della serie:
$sum_(n=1)^(+oo) (n^(alpha-2))/(n^3)=sum_(n=1)^(+oo) 1/n^(5-alpha)$
la quale è una serie armonica generalizzata d'esponente $5-alpha$ e pertanto converge se $5-alpha>1$, ossia se $alpha<4$.
Ne consegue che la tua serie converge assolutamente per $alpha<4$.
Ora ti maca da verificare la convergenza semplice col criterio di Leibnitz, ma puoi procedere come ti ha indicato fu^2. Ovviamente ti aspetti convergenza semplice solo per i valori di $alpha$ nell'intervallo $[4,5[$.
grazie mille
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