Serie

[enigmagame]

Studiare al variare di x$inRR$, la convergenza della serie
$sum_(n=0)^\infty (2+3n-n^2)/(1+n^5)(e^x-1)^n$
E' corretto questo procedimento?
Pongo $y=e^x-1$ ed ottengo la serie $sum_(n=0)^\infty (2+3n-n^2)/(1+n^5)y^n$
Utilizzando il criterio del rapporto vado a studiare il seguente limite:
$lim_(x->\infty)(2+3(n+1)-(n+1)^2)/(1+(n+1)^5)(1+n^5)/(2+3n-n^2)$ il cui risultato è 1.
Ora, avrò che la serie converge se $-1 - La serie converge per $x - La serie diverge per $x>log2$
E' corretto fino a qua? Adesso mi manca da vedere il caso in cui $x=log2$ giusto? Qui come procedo?
Grazie

[gugo82]

"enigmagame":Studiare al variare di x$inRR$, la convergenza della serie
$sum_(n=0)^\infty (2+3n-n^2)/(1+n^5)(e^x-1)^n$
E' corretto questo procedimento?
Pongo $y=e^x-1$ ed ottengo la serie $sum_(n=0)^\infty (2+3n-n^2)/(1+n^5)y^n$
Utilizzando il criterio del rapporto vado a studiare il seguente limite:
$lim_(x->\infty)(2+3(n+1)-(n+1)^2)/(1+(n+1)^5)(1+n^5)/(2+3n-n^2)$ il cui risultato è 1.
Ora, avrò che la serie converge se $-1
- La serie converge per $x - La serie diverge per $x>log2$
E' corretto fino a qua? Adesso mi manca da vedere il caso in cui $x=log2$ giusto? Qui come procedo?
Grazie

Tutto giusto il procedimento, tranne che qui ti sei dimenticato un $-1$ nella trascrizione nella riga grassettata (infatti dovrebbe essere $-1
Quando $x=log2$ hai $y=1$ quindi devi studiare la serie numerica $sum_(n=0)^\infty (2+3n-n^2)/(1+n^5)$: questa serie è a termini definitivamente negativi, onde o converge o diverge negativamente. D'altra parte per $n$ abbastanza grande hai:

$|(2+3n-n^2)/(1+n^5)|=(n^2-3n-2)/(1+n^5)le 1/(n^3)$ (fai i conti per confermare l'esattezza della maggiorazione)

quindi la tua serie numerica è definitivamente maggiorata in valore assoluto dalla serie armonica con esponente $alpha=3$. La convergenza di $\sum 1/(n^alpha)$ per $alpha>1$ ti assicura che la serie numerica $sum_(n=0)^\infty (2+3n-n^2)/(1+n^5)$ è assolutamente convergente.

Infine, puoi affermare che la tua serie di funzioni converge in $]-oo,log2]$ e diverge in $]log2,+oo[$ e l'esercizio è bello e risolto.

Un'ulteriore domanda potrebbe essere la seguente: puoi caratterizzare l'insieme di convergenza uniforme della tua serie?
In particolare l'insieme di convergenza uniforme di $sum_(n=0)^\infty (2+3n-n^2)/(1+n^5)(e^x-1)^n$ è vuoto, è una parte propria di o coincide con l'intervallo di convergenza semplice $]-oo,log2]$?

[enigmagame]

Esatto, mancava un $-1$, per il resto tutto chiaro, grazie mille!
Ciao!

[enigmagame]

Altra serie: $sum_(k=2)^\infty(k+5)/(k^2+2k-3)((x+2)/(x-2))^k$
Al solito, pongo $y=(x+2)/(x-2)$ e utilizzando il criterio del rapporto studio il seguente limite $lim_(k->+\infty)(k+1+5)/((k+1)^2+2(k+1)-3)(k^2+2k-3)/(k+5)$
Questo limite da $1$.
Ora avrò che la serie converge per $-1<(x+2)/(x-2)<1$ e risolvendo il sistema:
- La serie converge per $x<0$
- La serie diverge per $x>0$
Ora studio il caso in cui $x=0$ dove la serie diventa $sum_(k=2)^\infty(k+5)/(k^2+2k-3)(-1)^k$, quindi una serie a termini di segno alterno.
Studio $lim_(k->+\infty)(k+5)/(k^2+2k-3)$ che è $0$ e quindi per il criterio di Leibnitz posso affermare che la serie converge.
E' corretto o sbaglio qualcosa, inoltre, tralascio qualcosa, qualche caso?
Grazie!

[fu^2]

la discussione sulla ((x+2)/(x-2)) mi pare corretta

un'aggiunta... $(k+5)/(k^2+2k-3)$ si comporta come $1/k$

quindi studiare la serie

$sum_(k=3)^oo1/k((x+2)/(x-2))^k$ è la stessa cosa, solo con meno calcoli

la serie converge quindi quando $(x+2)/(x-2)$, come giustamenete hai osservato, è un infinitesimo (o al più uguale a -1 come hai discusso te).

quindi mi pare che il risultato che hai ottenuto è giusto

[gugo82]

"enigmagame":Ora studio il caso in cui $x=0$ dove la serie diventa $sum_(k=2)^\infty(k+5)/(k^2+2k-3)(-1)^k$, quindi una serie a termini di segno alterno.
Studio $lim_(k->+\infty)(k+5)/(k^2+2k-3)$ che è $0$ e quindi per il criterio di Leibnitz posso affermare che la serie converge.

Per applicare Liebniz con successo devi pure verificare se $(k+5)/(k^2+2k-3)$ è decrescente (almeno a partire da un certo $k$ in poi).