Serie
Ciao a tutti
Ho bisogno di aiuto per due serie.
Devo stabilire per quali valori di x reali le seguenti serie risultano convergenti:
`sum_(n=1)^oo(x-1)^n/(n+logn)
`sum_(n=1)^oo(3^n(x+1)^n)/n
Pensavo di utilizzare il criterio del confronto, ma col fatto che c'è la x incognita non so come procedere!
Grazie in anticipo!
Ho bisogno di aiuto per due serie.
Devo stabilire per quali valori di x reali le seguenti serie risultano convergenti:
`sum_(n=1)^oo(x-1)^n/(n+logn)
`sum_(n=1)^oo(3^n(x+1)^n)/n
Pensavo di utilizzare il criterio del confronto, ma col fatto che c'è la x incognita non so come procedere!
Grazie in anticipo!
Risposte
Basta che in entrambi i casi trovi i valori di $x$ per i quali le serie risultano a termini positivi ed ivi utilizzi il criterio della radice. Per le $x$ per le quali la serie risulta oscillante puoi applicare facilmente il criterio di Leibnitz.
Che influenza puo' avere la $x$ al numeratore della prima serie?
E' lo stesso se all'interno della parentesi ho un numero maggiore o minore di $|1|$?
Potresti iniziare con il dividere il caso |(x-1)|>1 oppure <1,
quindi applicare il confronto nei due casi distinti.
E' lo stesso se all'interno della parentesi ho un numero maggiore o minore di $|1|$?
Potresti iniziare con il dividere il caso |(x-1)|>1 oppure <1,
quindi applicare il confronto nei due casi distinti.
Nella seconda è piu' semplice applicare il criterio della radice, per poi analizzare i casi della $x$
A occhio comunque si puo' usare anche il confronto.
A occhio comunque si puo' usare anche il confronto.
ok, ho provato a risolvere la seconda, spero che sia giusto il ragionamento
Pongo la condizione per cui $x> -1$ altrimenti non posso applicare il criterio della radice.
Applico il criterio della radice:
$lim_(n->oo)quad^nsqrt(((x+1)^n3^n)/n) = lim_(n->oo)((x+1)*3)/(quad^nsqrtn)$
Ma io so che:
$lim_(n->oo)(quad^nsqrtn)=1$
Quindi per $-1
E' giusto?
Pongo la condizione per cui $x> -1$ altrimenti non posso applicare il criterio della radice.
Applico il criterio della radice:
$lim_(n->oo)quad^nsqrt(((x+1)^n3^n)/n) = lim_(n->oo)((x+1)*3)/(quad^nsqrtn)$
Ma io so che:
$lim_(n->oo)(quad^nsqrtn)=1$
Quindi per $-1
E' giusto?
Il procedimento sembra giusto, ora ritornando a quella iniziale, per x=-1 e x=-2/3 che cosa ti esce?
E per valori esterni?
P.S.= Ma nel criterio della radice, sotto la radice, non ci va il modulo? in questo caso dovresti trovare piu' soluzioni.
E per valori esterni?
P.S.= Ma nel criterio della radice, sotto la radice, non ci va il modulo? in questo caso dovresti trovare piu' soluzioni.
no, sul mio libro il criterio della radice non si applica sul valore assoluto!
Per valore di x pari a -1 si annulla il numeratore della serie, quindi la serie da come risultato zero (quindi è convergente?)
Per valore di x pari a -2/3 il risultato che si ottiene dal criterio della radice è uguale a 1 (quindi si ha divergenza)
Per valori esterni a quelli che ho descritto non saprei come agire.
E' quello che ho fatto, perchè dovrei considerare anche valori di x non compresi nell'intervallo che ho definito?
Per valore di x pari a -1 si annulla il numeratore della serie, quindi la serie da come risultato zero (quindi è convergente?)
Per valore di x pari a -2/3 il risultato che si ottiene dal criterio della radice è uguale a 1 (quindi si ha divergenza)
Per valori esterni a quelli che ho descritto non saprei come agire.
"giuseppe87x":
Basta che in entrambi i casi trovi i valori di $x$ per i quali le serie risultano a termini positivi ed ivi utilizzi il criterio della radice.
E' quello che ho fatto, perchè dovrei considerare anche valori di x non compresi nell'intervallo che ho definito?
Strano a dire la verità anch'io mi ricordo che bisogna mettere il valore assoluto nel criterio della radice e mi è confermato anche da alcuni esercizi svolti in rete (vedi http://www.mat.uniroma3.it/users/magron ... -serie.pdf) infatti per l'esercizio 2 mi viene $-(4/3)
$sum_(n=1)^(infty)(x-1)^n/(n+logn)$
$x>1$ la serie è a termini positivi, applichiamo dunque il criterio della radice: $lim_(ntoinfty)(x-1)root(n)(1/(n+logn))=x-1$. Quindi $x-1>1; x>2$ diverge; $0
Per la seconda puoi procedere allo stesso modo.
$x>1$ la serie è a termini positivi, applichiamo dunque il criterio della radice: $lim_(ntoinfty)(x-1)root(n)(1/(n+logn))=x-1$. Quindi $x-1>1; x>2$ diverge; $0
Per la seconda puoi procedere allo stesso modo.
Io la risolverei cosi':
$sum_(n=1)^oo(3^n(x+1)^n)/n$per crit.radice:$ lim_(n->oo)quad^nsqrt|((x+1)^n3^n)/n| = lim_(n->oo)(|(x+1)*3|)/(quad^nsqrtn)$
quindi:
$|3x+3|<1$ equivale, per via del modulo a $3x+3<1$ quando $x>(-1)$ e $-3x-3<1$ quando $x<(-1)$.
Nel caso $x>(-1)$ abbiamo $x<$$-2/3$
nel caso $x<(-1)$ abbiamo $x>$$-4/3$
Ora vediamo i casi estremi: con $x=-2/3$ il termine generale diventa $(3^n(1)^n)/n$ quindi la serie diverge
con$x=-4/3$ il termine generale diventa $(3^n(-1)^n)/n$ che (credo quasi sicuramente)diverge
quindi La serie converge assolutamente quindi anche semplicemente per $-4/3
$sum_(n=1)^oo(3^n(x+1)^n)/n$per crit.radice:$ lim_(n->oo)quad^nsqrt|((x+1)^n3^n)/n| = lim_(n->oo)(|(x+1)*3|)/(quad^nsqrtn)$
quindi:
$|3x+3|<1$ equivale, per via del modulo a $3x+3<1$ quando $x>(-1)$ e $-3x-3<1$ quando $x<(-1)$.
Nel caso $x>(-1)$ abbiamo $x<$$-2/3$
nel caso $x<(-1)$ abbiamo $x>$$-4/3$
Ora vediamo i casi estremi: con $x=-2/3$ il termine generale diventa $(3^n(1)^n)/n$ quindi la serie diverge
con$x=-4/3$ il termine generale diventa $(3^n(-1)^n)/n$ che (credo quasi sicuramente)diverge
quindi La serie converge assolutamente quindi anche semplicemente per $-4/3
Ora ho le idee più chiare grazie!
A proposito, la 1° serie che ho scritto converge solo se $x=1$ giusto? Volevo verificare il mio risultato...
ciao!
A proposito, la 1° serie che ho scritto converge solo se $x=1$ giusto? Volevo verificare il mio risultato...
ciao!
Il procedimento è analogo
$sum_(n=1)^(infty)(x-1)^n/(n+logn)$ per il criterio della radice: $lim_(ntoinfty)|x-1|/root(n)|(n+logn)|<1$
Il denominatore tende a 1
il numeratore è, per via del modulo:
$|x-1|<1$ ovvero
$x-1<1$ quando $x>1$
$-x+1<1$ quando $x<1$
da cio' si ricava che quella roba al denominatore é vera per $x>1$ solo se $x<2$
e per $x<1$ solo se $x>0$.
quindi $|x-1|<1$ è vera se e solo se $1
$x=2$ La serie è convergente (credo si possa metterlo in evidenza per confronto)
Poiché il criterio della radice ti dice solo se la serie è convergente ASSOLUTAMENTE, è necessario assicurarsi che essa non sia convergente semplicemente da qualche altra parte.
Generalmente c'è convergenza semplice ma non assoluta quando hai una successione infinitesima con termini di segno alterno.
Se osservi con attenzione, infatti, al numeratore potrebbe esserci anche una succesione con termini di segno alterno (cioè quando $(x-1)$ è minore di zero)
A occhio qui, quando $(x-1)$ è compreso tra -1 e 0 è convergente,
mentre per $x-1<-1$ è divergente, ma non ci metterei la mano sul fuoco.
In definitiva la serie converge assolutamente per $1<=x<2$ e semplicemente per $0
$sum_(n=1)^(infty)(x-1)^n/(n+logn)$ per il criterio della radice: $lim_(ntoinfty)|x-1|/root(n)|(n+logn)|<1$
Il denominatore tende a 1
il numeratore è, per via del modulo:
$|x-1|<1$ ovvero
$x-1<1$ quando $x>1$
$-x+1<1$ quando $x<1$
da cio' si ricava che quella roba al denominatore é vera per $x>1$ solo se $x<2$
e per $x<1$ solo se $x>0$.
quindi $|x-1|<1$ è vera se e solo se $1
$x=2$ La serie è convergente (credo si possa metterlo in evidenza per confronto)
Poiché il criterio della radice ti dice solo se la serie è convergente ASSOLUTAMENTE, è necessario assicurarsi che essa non sia convergente semplicemente da qualche altra parte.
Generalmente c'è convergenza semplice ma non assoluta quando hai una successione infinitesima con termini di segno alterno.
Se osservi con attenzione, infatti, al numeratore potrebbe esserci anche una succesione con termini di segno alterno (cioè quando $(x-1)$ è minore di zero)
A occhio qui, quando $(x-1)$ è compreso tra -1 e 0 è convergente,
mentre per $x-1<-1$ è divergente, ma non ci metterei la mano sul fuoco.
In definitiva la serie converge assolutamente per $1<=x<2$ e semplicemente per $0
Ma nessuno se n'è accorto che è sbagliato?!? 
Comunque la serie converge assolutamente per $0
Comunque la serie converge assolutamente per $0
"alexroma":
Devo stabilire per quali valori di x reali le seguenti serie risultano convergenti:
`sum_(n=1)^oo(x-1)^n/(n+logn)
`sum_(n=1)^oo(3^n(x+1)^n)/n
Pensavo di utilizzare il criterio del confronto, ma col fatto che c'è la x incognita non so come procedere!
Vi date pena per nulla. Sono serie di potenze: la prima ha raggio 1, la seconda ha raggio 1/3 (per il criterio del rapporto). Poiché inoltre $sum_(n=1)^oo(-1)^n/(n+logn)$ e $sum_(n=1)^oo((-1)^n)/n$ convergono entrambe, in base al criterio di Leibniz, si ha che la prima converge (puntualmente) sse $-1 \le x-1 < 1$, la seconda sse $-1/3 \le x+1 \le 1/3$.
Non penso che alexroma abbia fatto le serie di potenze.
Mi spiace per lui.
adesso che me lo dite ho provato a guardare online, ed effettivamente è semplicissimo risolvere quelle due serie mediante serie di potenze!
Alla prossima!
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