SERIE
Ho risolto le seguenti 3 serie però ho alcuni dubbi a riguardo:
1) $sum_{n=1}^{oo}(n*sqrt(n-5))/(5n^3+3n-1)$
ho utilizzato il criterio del confronto asintotico.Siccome il termine generale è un infinitesimo di ordine $-3/2$ allora la serie è convergente. Sulla traccia mi viene chiesta poi l'eventuale somma.Si riesce a calcolarla in questo caso?
2) e 3)
$sum_{n=1}^{oo}(cos(1/n))^((n^4+1)/n)$
$sum_{n=1}^{oo}(tan (e) ^((1-3n^3)/(n^2+8)))^((n-1)/(4n+1))$
per queste due serie ho applicato il criterio della radice e mi escono convergenti.Siccome il criterio della radice è applicabile solo a serie a termini positivi vi chiedo se va bene il seguente ragionamento per giustificare che sono a termini positivi: in questi due casi dovrebbero essere positive perchè gli argomenti del coseno e tangente sono numeri positivi che tendono a zero e per tal valori il coseno e tangente sono positivi.
Sempre su queste ultime due serie vi chiedo se è possibile calcolarne la somma e se ci sono altri modi per studiare il loro carattere oltre a quello della radice.
1) $sum_{n=1}^{oo}(n*sqrt(n-5))/(5n^3+3n-1)$
ho utilizzato il criterio del confronto asintotico.Siccome il termine generale è un infinitesimo di ordine $-3/2$ allora la serie è convergente. Sulla traccia mi viene chiesta poi l'eventuale somma.Si riesce a calcolarla in questo caso?
2) e 3)
$sum_{n=1}^{oo}(cos(1/n))^((n^4+1)/n)$
$sum_{n=1}^{oo}(tan (e) ^((1-3n^3)/(n^2+8)))^((n-1)/(4n+1))$
per queste due serie ho applicato il criterio della radice e mi escono convergenti.Siccome il criterio della radice è applicabile solo a serie a termini positivi vi chiedo se va bene il seguente ragionamento per giustificare che sono a termini positivi: in questi due casi dovrebbero essere positive perchè gli argomenti del coseno e tangente sono numeri positivi che tendono a zero e per tal valori il coseno e tangente sono positivi.
Sempre su queste ultime due serie vi chiedo se è possibile calcolarne la somma e se ci sono altri modi per studiare il loro carattere oltre a quello della radice.
Risposte
Chi mi dà una mano? 
"lupomatematico":
Siccome il criterio della radice è applicabile solo a serie a termini positivi vi chiedo se va bene il seguente ragionamento per giustificare che sono a termini positivi:
Non puoi più semplicemente studiarne l'assoluta convergenza?
Ma se le due serie penso siano a termini positivi è inutile studiarne l'assoluta convergenza.
Comunque come faresti lo studio dell'assoluta convergenza?
Siccome dai calcoli mi escono convergenti,la cosa importante che volevo sapere è poi se si può calcolare la somma di queste tre serie.
Comunque come faresti lo studio dell'assoluta convergenza?
Siccome dai calcoli mi escono convergenti,la cosa importante che volevo sapere è poi se si può calcolare la somma di queste tre serie.
Si ma tu stesso hai chiesto se il tuo ragionamento per spiegare che sono a termini positivi vada bene.
Si, credo che il discorso da te fatto fili, ma quello che intendevo dire, è che anche se non sei sicuro che la serie sia a termini positivi, puoi comunque applicare i vari criteri che ti servono (nel qual caso quello radice) alla serie dei moduli, che sei certo essere a termini positivi.
Si, credo che il discorso da te fatto fili, ma quello che intendevo dire, è che anche se non sei sicuro che la serie sia a termini positivi, puoi comunque applicare i vari criteri che ti servono (nel qual caso quello radice) alla serie dei moduli, che sei certo essere a termini positivi.
Se non sbaglio il tuo ragionamento è poi legato al fatto che l'assoluta convergenza implica la convergenza della serie di partenza.
Sapresti dirmi per quanto riguarda le somme di tal serie se si possono calcolare?
Sapresti dirmi per quanto riguarda le somme di tal serie se si possono calcolare?
"lupomatematico":
Se non sbaglio il tuo ragionamento è poi legato al fatto che l'assoluta convergenza implica la convergenza della serie di partenza.
Certo, infatti i vari criteri vengono presentati per le serie a termini positivi, ma poi puoi applicarli per serie a segno qualunque, grazie al fatto che se $sum|a_k|$ converge, allora $suma_k$ converge.
"lupomatematico":
Sapresti dirmi per quanto riguarda le somme di tal serie se si possono calcolare?
Purtroppo non ho ancora mai affrontato il calcolo diretto delle somme, passo la palla a qualcuno più competente..
Beh, cosetta alquanto scabrosa calcolare una serie così.
Fosse stata una serie di Liebniz, si sarebbe potuto tentare un approcci odel tipo $|S-Sn|<=Xn+1$ ponendo l'Xn+1< di un nostro valore di approssimazione.
Per serie del genere sinceramente non sò come si faccia per calcolare esattamente la S...hai provatoa sequenziare la sommatoria per vedere un andamento particolarmente benevolo? niente vero
?
Fosse stata una serie di Liebniz, si sarebbe potuto tentare un approcci odel tipo $|S-Sn|<=Xn+1$ ponendo l'Xn+1< di un nostro valore di approssimazione.
Per serie del genere sinceramente non sò come si faccia per calcolare esattamente la S...hai provatoa sequenziare la sommatoria per vedere un andamento particolarmente benevolo? niente vero
?
A quanto pare penso che queste serie ricadano nella classe delle serie per le quali non sia possibile calcolarne la somma o quantomeno la somma esatta.
Comunque mi chiedevo della somma perchè la traccia delle serie che ho scritto dice testualmente:"determinare il carattere,e se possibile la somma,della seguente serie numerica". Comunque penso che l'importante sia studiare il carattere delle serie perchè almeno per gli esercizi che sto affrontando pare che statisticamente siano pochissime le serie per le quali sia possibile calcolarne la somma.
Comunque mi chiedevo della somma perchè la traccia delle serie che ho scritto dice testualmente:"determinare il carattere,e se possibile la somma,della seguente serie numerica". Comunque penso che l'importante sia studiare il carattere delle serie perchè almeno per gli esercizi che sto affrontando pare che statisticamente siano pochissime le serie per le quali sia possibile calcolarne la somma.
"lupomatematico":
A quanto pare penso che queste serie ricadano nella classe delle serie per le quali non sia possibile calcolarne la somma o quantomeno la somma esatta.
Comunque mi chiedevo della somma perchè la traccia delle serie che ho scritto dice testualmente:"determinare il carattere,e se possibile la somma,della seguente serie numerica". Comunque penso che l'importante sia studiare il carattere delle serie perchè almeno per gli esercizi che sto affrontando pare che statisticamente siano pochissime le serie per le quali sia possibile calcolarne la somma.
Anche nella mia esperienza accademica in materia di serie, la stragrande maggioranza erano esercizi di determinazione del comportamento. Giusto le serie notevoli o pochissime altre con un andamento particolarmente benevolo sono determinabili precisamente.
Poi ci sono le serie di Liebniz.
Per il resto..beh....noi ingegneri non siamo andati oltre!
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