Serie

[Sk_Anonymous]

Discutere il carattere delle seguenti serie:

$sum_{n=1}^infty(1-cos(pi/sqrtn))$;

$sum_{n=1}^inftyn*(root3(1+nsin(1/n^2))-1)$;

$sum_{n=1}^inftye^(nx)/(arctgn)$,$x in R$.

[david_e1]

Beh la prima diverge per il criterio del confronto asintotico:

$ cos (x) = 1 - 1/2 x^2 + o(x^3) $

quindi:

$ 1 - cos(pi/sqrtn) = 1/2 pi^2/n + o(1/n) $

[david_e1]

La seconda analogamente:

$ 1+ n sin(1/n^2) = 1 + 1/n + o(1/n) $

quindi:

$ root3{1+x} = 1+ 1/3 x + o(x) \implies root3(1+nsin(1/n^2))-1 = 1/3 1/n + o(1/n) $

da cui:

$ n*(root3(1+nsin(1/n^2))-1) = 1/3 + o(1) $

quindi la serie diverge.

[david_e1]

Nella terza l'arcotangente non conta nulla visto che possiamo minorarla con $arctan(1)$ e lo studio della serie si riconduce quindi a studiare la convergenza di:

$ \sum_{k=1}^\infty e^{kx} $

che ovviamente converge per tutti e soli gli $x$ negativi ($x<0$)