Serie
Ciao 
....
Se devo studiare una serie a termini non positivi è corretto considerare i primi n termini, fare i calcoli e poi passare al limite ????
Per esempio la serie:
1-1/3+1/3-1/3^2+1/5-1/3^3+1/7-...
ottenuta combinando una seria armonica (eliminando i termini pari, va bè) ed una geometrica.. In teoria essendo questa non assolutamente convergente non potrei applicare la proprietà commutativa. Vorrei evitare il problema considerando n termini, applicando la proprietà e poi passando al limite (e concludere che è divergente, almeno così pare ad occhio). E' corretto?
Inoltre, nelle serie ha termini qualnque la proprietà associativa vale o no? A me pare che questo funzioni:
a1+a2+a3+a4=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+...=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+...
ma potrei sbagliare...
Per finire, dove si può trovare una dimo del teorema di Riemann per le successioni condizionatamente convergenti?
Grazie ed alla prx
....Se devo studiare una serie a termini non positivi è corretto considerare i primi n termini, fare i calcoli e poi passare al limite ????
Per esempio la serie:
1-1/3+1/3-1/3^2+1/5-1/3^3+1/7-...
ottenuta combinando una seria armonica (eliminando i termini pari, va bè) ed una geometrica.. In teoria essendo questa non assolutamente convergente non potrei applicare la proprietà commutativa. Vorrei evitare il problema considerando n termini, applicando la proprietà e poi passando al limite (e concludere che è divergente, almeno così pare ad occhio). E' corretto?
Inoltre, nelle serie ha termini qualnque la proprietà associativa vale o no? A me pare che questo funzioni:
a1+a2+a3+a4=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+...=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+...
ma potrei sbagliare...
Per finire, dove si può trovare una dimo del teorema di Riemann per le successioni condizionatamente convergenti?
Grazie ed alla prx
Risposte
Quello che fai in pratica tu e' un RIORDINAMENTO della serie. In particolare c'e' un famoso teorema (Riemann-Dini) che dice che se la serie converge non assolutamente, ma solo semplicemente, fissato un qualunque numero reale x esiste un riordinamento della serie che converge a quel numero.
Quindi non ha senso studiare in quel modo la convergenza delle serie!
Quindi non ha senso studiare in quel modo la convergenza delle serie!
Si ok... il punto è proprio capire se è applicabile o no. Io ho letto l'enunciato di quel teorema (ne chiedevo la dimo nel post sopra) e l'ho capito così:
1-1/2+1/3-1/4... converge a log2
invece
1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+...
converge a 3/2*ln2... perchè?
Prendiamo i numeri fino a -1/(2z) con z intero... Essendo il nostro un insieme finito di numeri possiamo riarrangiarli (cosa lo impedisce????):
lim[z->inf] [1+/1/3+1/5+...+1/(3+4z)] - [(1/2+1/4+..+1/(2z) ]
passando al limite si nota la netta predominanza di fattori dispari che rende conto del risultato diverso da quello della serie normale...
in pratica il riarrangiamento che faccio NON è sulla serie, ma solo su somme finite della serie... mi spiego: quando ho riscritto la serie con il nuovo arrangiamento ho evidentemente cambiato il carattere, cambiandone il limite da log2 a 3/2log2... Il limite però dovrebbe dare sempre 3/2 log2, anche se ho riarrangiato i termini....
Nell'esempio del post precedente:
prendo i primi n termini e li rimescolo:
(1+1/3+1/5+...1/2k-1)-(1/3+...+1/3^k)=
passando al limitedato che la seconda serie converge ma non la prima ho il risultato... Inoltre credo che qualunque rimescolamento andasse bene in questo caso... Mi rendo conto che questo esempio forse non calza a pennello, ma cmq....
Magari avrò detto cavolate, vorrei nel caso che fossi puntuale nel dire dove... grazie cmq!
1-1/2+1/3-1/4... converge a log2
invece
1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+...
converge a 3/2*ln2... perchè?
Prendiamo i numeri fino a -1/(2z) con z intero... Essendo il nostro un insieme finito di numeri possiamo riarrangiarli (cosa lo impedisce????):
lim[z->inf] [1+/1/3+1/5+...+1/(3+4z)] - [(1/2+1/4+..+1/(2z) ]
passando al limite si nota la netta predominanza di fattori dispari che rende conto del risultato diverso da quello della serie normale...
in pratica il riarrangiamento che faccio NON è sulla serie, ma solo su somme finite della serie... mi spiego: quando ho riscritto la serie con il nuovo arrangiamento ho evidentemente cambiato il carattere, cambiandone il limite da log2 a 3/2log2... Il limite
Nell'esempio del post precedente:
prendo i primi n termini e li rimescolo:
(1+1/3+1/5+...1/2k-1)-(1/3+...+1/3^k)=
passando al limitedato che la seconda serie converge ma non la prima ho il risultato... Inoltre credo che qualunque rimescolamento andasse bene in questo caso... Mi rendo conto che questo esempio forse non calza a pennello, ma cmq....
Magari avrò detto cavolate, vorrei nel caso che fossi puntuale nel dire dove... grazie cmq!
mmm... scusa ma non ci sono... un altro esempio che credo esprima pienamente ciò che voglio dire:
Ho una successione fatta da termini a1,a2,... positivi ed una da termini b1,b2,... negativi con la serie dei valori assoluti divergenti.
Li metto così:
a1+b1+a2+b2+a3+b3+a4+b4
Ora le succ parziale sono: a1,a1+b1,a1+b1+a2,a1+b1+a2+b2,a1+b1+a2+b2+a3,a1+b1+a2+b2+a3+b3,... ne dobbiamo fare il limite....
In pratica io vorrei riscrivere le successioni parziali così:
a1,a1+b1,a1+a2+b1+b2,a1+a2+a3+b1+b2,a1+a2+a3+b1+b2+b3,... Si nota che: le successioni sono esattamente le stesse di prima (ed in particolare avranno lo stesso limite), ma solo messe in modo che si calcolino più facilmente... non credo di avere riordinato la serie e nemmeno di avere riordinato le successioni, applico solo la proprietà commutativa sulle somme finite per calcolare in modo più facile le successioni...
La cosa si fà più complicata quando invece di un termine con il più alternato con il meno si alternano meno e più in modo più variabile... ma per risolvere il problema proposto basta, o no? Perchè altrimenti è più problematico visto che il criterio di Leibniz non è applicabile e bisognerebbe smanettare un pò---
Ho una successione fatta da termini a1,a2,... positivi ed una da termini b1,b2,... negativi con la serie dei valori assoluti divergenti.
Li metto così:
a1+b1+a2+b2+a3+b3+a4+b4
Ora le succ parziale sono: a1,a1+b1,a1+b1+a2,a1+b1+a2+b2,a1+b1+a2+b2+a3,a1+b1+a2+b2+a3+b3,... ne dobbiamo fare il limite....
In pratica io vorrei riscrivere le successioni parziali così:
a1,a1+b1,a1+a2+b1+b2,a1+a2+a3+b1+b2,a1+a2+a3+b1+b2+b3,... Si nota che: le successioni sono esattamente le stesse di prima (ed in particolare avranno lo stesso limite), ma solo messe in modo che si calcolino più facilmente... non credo di avere riordinato la serie e nemmeno di avere riordinato le successioni, applico solo la proprietà commutativa sulle somme finite per calcolare in modo più facile le successioni...
La cosa si fà più complicata quando invece di un termine con il più alternato con il meno si alternano meno e più in modo più variabile... ma per risolvere il problema proposto basta, o no? Perchè altrimenti è più problematico visto che il criterio di Leibniz non è applicabile e bisognerebbe smanettare un pò---
*** EDIT ***
"La e'" sta' per la prima e'.
Scusate l'errore "di stampa".
Ok... così per esempi ci si chiarisce di più...
Cmq non capisco cosa intendi fare...
Prendiamo la tua serie, le somme parziali sono:
s1 = 1
s2=1-1=0
s3=1-1+1=1
s4=1-1+1-1=0
e così via... le somme parziali oscillano...
negli altri casi tu non hai considerato tutte le somme parziali...chiaro che poi il risultato può venire sballato... anche se (notare!) quando sommi i primi n termini con n pari viene sempre 0, 1 in caso contrario (nella prima successione hai sbagliato una somma cmq)....Quello che dico è che si può scrivere:
s1=1
s2=1-1
s3=1+1-1
s4=1+1-1-1
s5=1+1+1-1-1
s6=1+1+1-1-1-1
di modo che, considerano separatamente i casi s pari ed s dispari, concludo che la successione non ha limite (cosa ovvia credo,visto che non è infinitesima, o no?)... (notare una cosa: nella successione che propongo all'inizio nel primo post devo dividere i casi n pari ed n dispari e vedere cosa esce fuori, chiaro che se considero solo le somma dei primi n pari e non quelle dei dispari non ho dimostrato nulla)...
Cmq lascia perdere l'esempio fatto da me nel primo post, che non è fatto bene... la proprietà associativa ovviamente non vale se la si usa male su somme infinite, solo ma con qualche accortezza...
Cmq non capisco cosa intendi fare...
Prendiamo la tua serie, le somme parziali sono:
s1 = 1
s2=1-1=0
s3=1-1+1=1
s4=1-1+1-1=0
e così via... le somme parziali oscillano...
negli altri casi tu non hai considerato tutte le somme parziali...chiaro che poi il risultato può venire sballato... anche se (notare!) quando sommi i primi n termini con n pari viene sempre 0, 1 in caso contrario (nella prima successione hai sbagliato una somma cmq)....Quello che dico è che si può scrivere:
s1=1
s2=1-1
s3=1+1-1
s4=1+1-1-1
s5=1+1+1-1-1
s6=1+1+1-1-1-1
di modo che, considerano separatamente i casi s pari ed s dispari, concludo che la successione non ha limite (cosa ovvia credo,visto che non è infinitesima, o no?)... (notare una cosa: nella successione che propongo all'inizio nel primo post devo dividere i casi n pari ed n dispari e vedere cosa esce fuori, chiaro che se considero solo le somma dei primi n pari e non quelle dei dispari non ho dimostrato nulla)...
Cmq lascia perdere l'esempio fatto da me nel primo post, che non è fatto bene... la proprietà associativa ovviamente non vale se la si usa male su somme infinite, solo ma con qualche accortezza...
Si all'ultima riga del mio vecchio post l'ultimo segno doveva essere - e non +!!!
Quello che volevo fare in ogni caso era questo:
In entrambi casi quando faccio il limite sommo tutti i termini della serie, ma ottengo risultati diversi!
Comunque ora a ripensarci non e' un esempio cosi' azzeccato nemmeno quello che ho messo io: volevo fare un esempio un po' piu' chiaro, ma non me ne e' venuto in mente alcuno!
Visto che per ora non mi viene in mente un esempio chiaro, ti spiego a parole cosa non mi convince del tuo ragionamento.
Prendiamo una serie tipo quella armonica a segni alterni.
Fino a che fai la somma come:
a1,a1+b1,a1+b1+a2,a1+b1+a2+b2,a1+b1+a2+b2+a3,a1+b1+a2+b2+a3+b3
E' tutto OK.
Ma se invece fai le somme come:
a1,a1+b1,a1+a2+b1+b2,a1+a2+a3+b1+b2,a1+a2+a3+b1+b2+b3
Quando passi al limite ti trovi con la differenza di due somme divergenti! Infatti hai prima la somma di tutti gli a_n (che diverge) [size=150]-[/size] la somma di tutti b_n (che diverge). Anche se apparentemente non cambi la successione delle A_n, nel passaggio al limite accade qualche cosa di "brutto".
Quindi anche al di la di casi in cui si cambia la successione delle somme parziali (come nel tuo primo esempio e anche nel mio esempio di prima), si potrebbe pensare che si possa agire a piacimento sui termini (mantenendo inalterata la successione degli A_n), ma io non ne sono del tutto convinto....
E' come se nel mio esempio ponessi:
Non mi sembra un ragionamento logicamente corretto da portare avanti......
Quello che volevo fare in ogni caso era questo:
CASO I:
A_n = a_1 + (b_1 + a_2) + (b_2 + a_3) + ... ( b_n + a_{n+1} ) = 1 PER OGNI n
CASO II:
A_n = ( a_1 + b_1 ) + ( a_2 + b_2 ) + ( c_3 + c_3 ) + ... ( b_n + c_n ) = 0 PER OGNI n
In entrambi casi quando faccio il limite sommo tutti i termini della serie, ma ottengo risultati diversi!
Comunque ora a ripensarci non e' un esempio cosi' azzeccato nemmeno quello che ho messo io: volevo fare un esempio un po' piu' chiaro, ma non me ne e' venuto in mente alcuno!
Visto che per ora non mi viene in mente un esempio chiaro, ti spiego a parole cosa non mi convince del tuo ragionamento.
Prendiamo una serie tipo quella armonica a segni alterni.
somme q_n q_2n = a_n = 1 / 2n q_2n+1 = b_n = -1 / ( 2n+1 )
Fino a che fai la somma come:
a1,a1+b1,a1+b1+a2,a1+b1+a2+b2,a1+b1+a2+b2+a3,a1+b1+a2+b2+a3+b3
E' tutto OK.
Ma se invece fai le somme come:
a1,a1+b1,a1+a2+b1+b2,a1+a2+a3+b1+b2,a1+a2+a3+b1+b2+b3
Quando passi al limite ti trovi con la differenza di due somme divergenti! Infatti hai prima la somma di tutti gli a_n (che diverge) [size=150]-[/size] la somma di tutti b_n (che diverge). Anche se apparentemente non cambi la successione delle A_n, nel passaggio al limite accade qualche cosa di "brutto".
Quindi anche al di la di casi in cui si cambia la successione delle somme parziali (come nel tuo primo esempio e anche nel mio esempio di prima), si potrebbe pensare che si possa agire a piacimento sui termini (mantenendo inalterata la successione degli A_n), ma io non ne sono del tutto convinto....
E' come se nel mio esempio ponessi:
A_1 = 1 - 1 A_2 = 1 + 1 - 1 A_3 = 1 + 1 - 1 - 1 A_n = 1 + 1 + ... n/2 volte - 1 - 1 - 1 ... n/2 volte... -1 A_00 = 1 + 1 + 1 + 1 ... 00/2 volte - 1 - 1 .... 00/2 volte ... -1
Non mi sembra un ragionamento logicamente corretto da portare avanti......
1) perchè dici qualcosa di brutto?... semplicemente non si può concludere nulla...
2) non capisco cosa abbia di male l'applicazione al tuo esempio...
2) non capisco cosa abbia di male l'applicazione al tuo esempio...
No il fatto e' che nel mandare al limite le somme parziali fatte cosi' si arriva a generare degli oggetti privi di senso (cosa vuol dire somma infinite/2 volte 1 e poi togli infinite/2 volte 1???)
Per cui non sono del tutto convinto che sia corretto fare cosi'!
In ogni caso sto' pensando a un esempio in cui queste cose siano evidenti...
Poi potrei anche sbagliarmi su questo!
Solo di una cosa sono sicuro: se cambi le somme parziali cambia il risultato, ma mi sembra che su questo siamo d'accordo.......
Per cui non sono del tutto convinto che sia corretto fare cosi'!
In ogni caso sto' pensando a un esempio in cui queste cose siano evidenti...
Poi potrei anche sbagliarmi su questo!
Solo di una cosa sono sicuro: se cambi le somme parziali cambia il risultato, ma mi sembra che su questo siamo d'accordo.......
Ecco il controesempio.
Prendiamo la serie armonica a segni alterni:
$ sum_(i=1)^(oo) (-1)^(i-1) 1/i $
Ordinata cosi':
$ 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + ... + 1/(4n-3) + 1/(4n-1) - 1/(2n) + ... = 3/2 log(2) $
Ora prendiamo la somma parziale $A_k$ e ordiniamola, tenendo dentro tutti i termini.
Indico con $p_(2n+1)$ i termini POSITIVI e con $m_(2n)$ quelli negativi cambiati di segno. Ora abbiamo:
$ p + p - m + p + p - m + ... + p_(4k-3) + p_(4k-1) - m_(2k) $ (non scrivo tutti gli indici tanto si capisce)
Poi la ordiniamo cosi':
$ A_(2k) = ( p - m + p ) + ( p - m + p) + ... ( p_(4k-3) - m_(2k) + p_(4k-1) ) $
Poi usiamo la proprieta' associativa per le somme finite:
$ A_(2k) = ( p - m ) + p + p + ( p - m ) + p + p + ( p - m ) + ... p_(4k-3) + ( p_(4k-1) - m_(2k) ) $
Da cui (facendo un po' di permutazioni):
$ A_(2k) = sum_(i=1)^(k) ( p_(2i-1) - m_(2i) ) + sum_(i=k)^(2k-2) p_(2i+1) $
Passando al limite si ha (notiamo che il primo pezzo e' la serie armonica a segni alterni troncata all'ordine $k$ e ordinata in modo usuale):
$ lim_(k -> oo) A_(2k) = log(2) + lim_(k -> oo) sum_(i=k)^(2k-2) p_(2i+1) = + oo $
Visto che il primo termine e' limitato e il secondo diverge.
Abbiamo cambiato il valore della serie senza modificare il valore delle singole somme parziali visto che le abbiamo ordinate tenendo dentro tutti i termini e non aggiungendone altri.
Prendiamo la serie armonica a segni alterni:
$ sum_(i=1)^(oo) (-1)^(i-1) 1/i $
Ordinata cosi':
$ 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + ... + 1/(4n-3) + 1/(4n-1) - 1/(2n) + ... = 3/2 log(2) $
Ora prendiamo la somma parziale $A_k$ e ordiniamola, tenendo dentro tutti i termini.
Indico con $p_(2n+1)$ i termini POSITIVI e con $m_(2n)$ quelli negativi cambiati di segno. Ora abbiamo:
$ p + p - m + p + p - m + ... + p_(4k-3) + p_(4k-1) - m_(2k) $ (non scrivo tutti gli indici tanto si capisce)
Poi la ordiniamo cosi':
$ A_(2k) = ( p - m + p ) + ( p - m + p) + ... ( p_(4k-3) - m_(2k) + p_(4k-1) ) $
Poi usiamo la proprieta' associativa per le somme finite:
$ A_(2k) = ( p - m ) + p + p + ( p - m ) + p + p + ( p - m ) + ... p_(4k-3) + ( p_(4k-1) - m_(2k) ) $
Da cui (facendo un po' di permutazioni):
$ A_(2k) = sum_(i=1)^(k) ( p_(2i-1) - m_(2i) ) + sum_(i=k)^(2k-2) p_(2i+1) $
Passando al limite si ha (notiamo che il primo pezzo e' la serie armonica a segni alterni troncata all'ordine $k$ e ordinata in modo usuale):
$ lim_(k -> oo) A_(2k) = log(2) + lim_(k -> oo) sum_(i=k)^(2k-2) p_(2i+1) = + oo $
Visto che il primo termine e' limitato e il secondo diverge.
Abbiamo cambiato il valore della serie senza modificare il valore delle singole somme parziali visto che le abbiamo ordinate tenendo dentro tutti i termini e non aggiungendone altri.
Non ho capito granchè delle notazione, ma credo di capire come vuoi riorganizzare i termini... Cmq se i tuoi calcoli sono giusti, questo è il limite incriminato:
lim [k-->inf] Sum[i=k-->2k-2] (1/2i+1)
consideriamo la sommatoria e maggioriamola:
Sum[i=k-->2k-2] (1/2i+1) < (k-1)*( 1/(2k+1) ) <1/2
Cioè la sommatoria è sempre <1/2
e inoltre log 2+1/2>3/2 log 2...
Sbaglio?
lim [k-->inf] Sum[i=k-->2k-2] (1/2i+1)
consideriamo la sommatoria e maggioriamola:
Sum[i=k-->2k-2] (1/2i+1) < (k-1)*( 1/(2k+1) ) <1/2
Cioè la sommatoria è sempre <1/2
e inoltre log 2+1/2>3/2 log 2...
Sbaglio?
Hai stra-ragione! Ho detto una super fesseria! 
Effettivamente riordinando le somme parziali cosi' il limite finale non cambia!
L'unica possibilita' e' quella di mettere tutti i positivi da una parte e tutti i negativi dall'altra e ottenere due somme armoniche, ma piu' che mostrare che il limite sia cambiato, cosi' facendo, si mostra solo di aver scritto in maniera perversa un limite.
Non so se cancellare il mio ultimo post che contiene un errore abbastanza grossolano... ma penso che lo lascero': si impara sempre dagli errori, anche da quelli degli altri.
Penso comunque che tu abbia ragione: e' possibile riordinare le somme parziali a condizione pero' di prestare GRANDE attenzione a quello che si fa. Se si mantengono comunque tutti i termini la somma non cambia. Il mio unico dubbio era che questi oggetti poi risultassero mal definiti dal punto di vista logico... Comunque al di la di questo non e' ragionevole pensare di poter alterare la somma finale agendo bene.
Era un po' che mi stavo convincendo di questo, poi, nel cercare di risolvere il "dubbio amletico" di Lupo Grigio mi sono messo a smanettare di brutto con queste serie armoniche e, avendo dimenticato un indice in un passaggio sotto la somma (mi veniva i che andava da un numero fisso a 2k-2) mi ero ritrovato con una bella somma armonica a segni costanti. In tutta fretta l'ho postata, ma era sbagliata...
Effettivamente riordinando le somme parziali cosi' il limite finale non cambia!
L'unica possibilita' e' quella di mettere tutti i positivi da una parte e tutti i negativi dall'altra e ottenere due somme armoniche, ma piu' che mostrare che il limite sia cambiato, cosi' facendo, si mostra solo di aver scritto in maniera perversa un limite.
Non so se cancellare il mio ultimo post che contiene un errore abbastanza grossolano... ma penso che lo lascero': si impara sempre dagli errori, anche da quelli degli altri.
Penso comunque che tu abbia ragione: e' possibile riordinare le somme parziali a condizione pero' di prestare GRANDE attenzione a quello che si fa. Se si mantengono comunque tutti i termini la somma non cambia. Il mio unico dubbio era che questi oggetti poi risultassero mal definiti dal punto di vista logico... Comunque al di la di questo non e' ragionevole pensare di poter alterare la somma finale agendo bene.
Era un po' che mi stavo convincendo di questo, poi, nel cercare di risolvere il "dubbio amletico" di Lupo Grigio mi sono messo a smanettare di brutto con queste serie armoniche e, avendo dimenticato un indice in un passaggio sotto la somma (mi veniva i che andava da un numero fisso a 2k-2) mi ero ritrovato con una bella somma armonica a segni costanti. In tutta fretta l'ho postata, ma era sbagliata...
ok... grazie!... se ci sono altri sviluppi avvisami, eh!....
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