Serie

[flobo56]

serie (n^2+n)^1/2 -n)(1-ntg1/n)
potreste risolverla al più presto xkè ho l'esame di analisi 2 oggi grazie

[Berationalgetreal]

Come ieri sera, rinnovo questo esercizio perchè mi sembra sia degno di uno sguardo. Prima di tutto, riscriviamolo in una forma più accettabile:
Stabilire il comportamento della seguente serie:
\[ \sum_{n = 0}^{+ \infty} \left ( \sqrt{n^2 + n} - n \right ) \left (1 - n \cdot \tan \left (\frac{1}{n} \right ) \right ) \]

La risoluzione è in spoiler

Non si può facilmente stabilire se si tratti di una serie a termini positivi. Di conseguenza, proviamo ad ottenere che essa converga assolutamente; questo implicherà anche che converge semplicemente.

Studiamo quindi la serie

\[ \sum_{n = 0}^{+ \infty} \left | \left ( \sqrt{n^2 + n} - n \right ) \left (1 - n \cdot \tan \left (\frac{1}{n} \right ) \right ) \right | \]

Notiamo subito che il "nodo dolente" è il secondo termine; utilizziamo gli sviluppi di Taylor:

\[ t = \frac{1}{n} \implies \tan (t) = t + \frac{t^3}{3} + o(t^3) \implies \tan \left (\frac{1}{n} \right ) = \frac{1}{n} + \frac{1}{3 n^3} + o \left (\frac{1}{n^3} \right) \]

Andando a sostituire:

\[ \sum_{n = 0}^{+ \infty} \left | \left ( \sqrt{n^2 + n} - n \right ) \left ({1} {-1} + \frac{1}{3 n^2} + o \left (\frac{1}{n^2} \right ) \right ) \right | \]

Inoltre,

\[ \sqrt{n^2 + n} - n = \frac{ {n^2} + n {-n^2}}{ \sqrt{ n^2 \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )}+ n} = \frac{{n}}{{n} \left (\sqrt{ 1 + \frac{1}{n}} +1 \right )} = \frac{1}{\sqrt{ 1 + \frac{1}{n}} +1} \]

Quindi la nostra serie è

\[ \sum_{n = 0}^{+ \infty} \left | \frac{\left (\frac{1}{3 n^2} + o \left ( \frac{1}{n^2} \right ) \right )}{\sqrt{ 1 + \frac{1}{n}} +1} \right | \]
Notiamo subito che essa è asintotica alla serie armonica di grado 2 (la verifica è immediata); di conseguenza essa converge $ \implies $ la serie di partenza converge assolutamente, e quindi anche semplicemente.