Serie

[pavonis1]

Serie log(n)/n^a al variare di a nei reali positivi.
Qualcuno sa aiutarmi?

[Asimov1]

regola generale:

serie : 1 / ( n^a * log(n)^b)

a < 1 DIVERGE
a > 1 CONVERGE

a = 1 b > 1 CONVERGE
b <= 1 DIVERGE

in questo caso quindi essendo b = -1 la serie dovrebbe divergere per a <= 1, e convergere per a > 1.

[pavonis1]

La regola generale da dove deriva precisamente?

[Sk_Anonymous]

Ricordiamoci che la serie S(1/n^a) ,detta anche serie
armonica generalizzata,diverge per 01.
Cio' detto,osserviamo che siccome n--->+inf,si puo' supporre:
log(n)>1 da cui:log(n)/n^a > 1/n^a.
Pertanto:
1)Se 0 maggiorante di una serie divergente.
2)Se a>1 sembra che la serie converga.
In effetti da calcoli fatti con Derive appare proprio
cosi'.Asimov ti potra'certamente dare altri ragguagli.
karl.

[pavonis1]

Scusa ma il criterio del confronto da te applicato per come lo so io si applica quando la maggiorante converge o la minorante diverge e non quando diverge la maggiorante. Oppure non è vero?

[goblyn]

Infatti karl lo ha applicato per 0<=a<=1 dove 1/(n^a) (la minorante) diverge e ha concluso che la serie diverge.

[pavonis1]

Si scusate ho sbagliato a leggere. Grazie mille!

[pavonis1]

La spiegazione che mi sono dato per a>1 è la seguente:

Poiche ogni potenza cresce all'infinito più velocemente del logaritmo allora logn/n^a < n^b/n^a (quando b >0).

Poichè n^b/n^a = n^(b-a) = 1/n^(a-b) allora poichè beta può essere "un infinitesimo" rimane 1/n^a quindi appena a>1 la serie armonica generalizzata converge e questa è maggiorante della nostra serie di partenza!





Modificato da - pavonis il 31/01/2004 10:23:33